いきなりですが問題です．
何も のって いない 青い さらが 5まい あります。
1さらに りんごを 3こずつ のせます。
りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう。
答えは「15こ」です．式は「3こ/さら×5さら＝15こ」で表せます．どのような式だと間違いになるか，という検討は本日しません．
続けてですが問題です．
1さらに みかんを 5こずつ のせます。
くだものは ぜんぶで 何こ あるでしょう。
りんごを乗せてからみかんを乗せる，という展開です．答えは「40こ」です．式ですが，りんごは「3こ/さら×5さら＝15こ」，みかんは「5こ/さら×5さら＝25こ」，たし算して，「15こ＋25こ＝40こ」となります．小学校2年の範囲を超えますが，「3こ/さら×5さら＋5こ/さら×5さら＝15こ＋25こ＝40こ」と書くこともできます．
別の求め方もあります．1さらあたりで見ると，何もない状態から，りんごを3個ずつ，そしてみかんを5個ずつ乗せたのですから，「3こ/さら＋5こ/さら＝8こ/さら」となります．そしてそれが5皿ですから，「8こ/さら×5さら＝40こ」です．一つの式で表すと，「（3こ/さら＋5こ/さら）×5さら＝8こ/さら×5さら＝40こ」です．
なのですが，このように書いて，本当にいいのでしょうか?
「/」を単位に含む量は，内包量と呼ばれます．そして内包量は加法性を持たない，すなわち「足せない」量なのも，広く知られています．
ですが上の問題では，「3こ/さら＋5こ/さら＝8こ/さら」と，足すことができました．りんごやみかんの長方形配置や，かけわり図で表しても，足せるのが確認できます．
どんなときに，そのまま足すことができて，どんなときには，そのまま足すわけにいかないかを，考えることにしましょう．新たにですが問題です．
赤い さらが 5まい あります。1さらに りんごが 3こずつ のっています。
白い さらも 5まい あります。1さらに みかんが 5こずつ のっています。
くだものは ぜんぶで 何こ あるでしょう。
こうすると，「3こ/さら×5さら＋5こ/さら×5さら＝15こ＋25こ＝40こ」は問題ありませんが，「（3こ/さら＋5こ/さら）×5さら＝8こ/さら×5さら＝40こ」には抵抗があります．「3こ/さら＋5こ/さら＝8こ/さら」が，この場面には見られません．
総数で言うと，りんごは15個，みかんは25個ですので，果物は40個です．入れ物のほうは，赤い皿が5枚と白い皿が5枚で，合計10枚です．
もし，果物の数は増えも減りもせず，どの皿にも同じ個数の果物を乗せるとするなら，「40こ÷10さら＝4こ/さら」となります．例えば，みかんを移動させれば，りんご3個ずつとみかん1個ずつという皿が5枚，みかん4個ずつという皿が5枚，ですので，「さらが 10まい あります。1さらに くだものが 4つずつ のっています」という状況（式に表すと「4こ/さら×10さら＝40こ」）をつくることができます．
皿が10枚ある状況から，「3こ/さら＋5こ/さら＝8こ/さら」を得るためには…冒頭で2つに分けて書いた，青い皿の問題と結びつけてみましょう．手続きは，次のようになります．
- りんごが3個ずつ乗った赤い皿を5枚，用意します．赤い皿には1から5までの番号を振っておきます．
- みかんが5個ずつ乗った白い皿を5枚，用意します．白い皿にも1から5までの番号を振っておきます．
- 何も乗っていない青い皿を5枚，用意します．青い皿にも1から5までの番号を振ってきます．
- 番号i（i＝1,2,3,4,5）の赤い皿のりんごを，番号iの青い皿に移し替えます．
- 番号i（i＝1,2,3,4,5）の白い皿のみかんを，番号iの青い皿に移し替えます．
移し替える前の状態は，「3こ/さら×5さら＋5こ/さら×5さら＝15こ＋25こ＝40こ」で表されます．また移し替えた後の青い皿に着目すると，「（3こ/さら＋5こ/さら）×5さら＝8こ/さら×5さら＝40こ」と書けます．
青い皿の果物について，赤い皿と白い皿へ同数になるよう振り分け，何も乗らなくなった青い皿を取り除くと，「40こ÷10さら＝4こ/さら」も得られます．
式で表すと
足せる内包量，足せない内包量は，次のように定式化できます．
内包量は，2つの外延量の商であるという考え方から出発します．そして，内包量を持つ2つの対象a1およびa2が，何らかの方法で合併*1でき，合併された対象a3に至るものとします．
ここで，a1，a2，a3の持つ内包量をそれぞれI1，I2，I3と表記し，次のように商として書くことにします．
I1＝E11÷E12
I2＝E21÷E22
I3＝E31÷E32
E11とE21とE31はある量空間に属する外延量で，内包量の被除数と呼ぶことにします．E12とE22とE32は別の量空間に属する外延量で，内包量の除数と呼びます．
さて，I3＝I1＋I2を満たすときに「足せる内包量」，I3≠I1＋I2のときに「足せない内包量」と定義します．次の2つの等式をともに満たすとき，足せない内包量となります．
E11＋E21＝E31
E12＋E22＝E32
これと先ほどのI1，I2，I3の式とを結びつけると，2つの内包量の被除数どうし，除数どうしを足すことで，合併後の内包量の分子と分母が求められることを意味します．式は次のとおりです．
I3＝E31÷E32＝（E11＋E21）÷（E12＋E22）
ここに実用的な仮定としてE11,E12,E21,E22＞0（ゼロやマイナスの量を対象としない）を置けば，
I1＋I2＞I3
となります*2．
それに対して，次の2つの等式をともに満たすときには，足せる内包量となります．
E11＋E21＝E31
E12＝E22＝E32
内包量の被除数どうしは足しますが，除数は同等という場合です．このとき，次にようにして，合併後の内包量は，合併前の2つの内包量の和となることが確認できます．
I1＋I2＝E11÷E12＋E21÷E22＝E11÷E32＋E21÷E32＝（E11＋E21）÷E32＝E31÷E32＝I3
事例を見ていきましょう．青い皿にりんごやみかんを乗せて，内包量のたし算ができたのは，5枚の青い皿がE12＝E22＝E32の役割を果たしていたからです．それに対し，「40こ÷10さら＝4こ/さら」のほうは，「（15こ＋25こ）÷（5さら＋5さら）」と書くことができ，足せないほうの条件に当てはまるのでした．割り切れるように，3種類の皿の枚数そして果物の個数を設定しましたが，個数を変えれば割り切れるとは限らず，赤い皿と白い皿の枚数が異なると，平均で求めるわけにもいかなくなります．
相対速度も，共通する時間がE12＝E22＝E32に対応し，足せる内包量となります．http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20140330/1396126613で書いたコーヒーのブレンドの件は，コーヒー豆の価格についてE11＋E21＝E31，重量についてE12＋E22＝E32となり，足せない内包量です．食塩水を混ぜたり，30℃と40℃のお湯を混ぜたりといった，濃度や温度を「足せない」場面についても，E12＋E22＝E32となる量を見つけることができます．
人口密度について，「和歌山県の男性の人口密度と女性の人口密度」は足せますが，「和歌山県の人口密度と茨城県の人口密度」を単純に足すと，おかしくなります（https://twitter.com/tetragon1/status/450487065348558848）．これもまた，E12，E22，E32に対応する，県の面積が共通か異なるかによって，説明できます．
なお，上に書いた式は，足せる内包量，足せない内包量となるための十分条件です．いずれの条件も満たさない（ように見える）場面として，2つの物体の衝突があります．衝突後の速度は，エネルギー保存則と運動量保存の法則が支配することになります．
（最終更新：2014-07-23 朝）
