いきなりですが問題です．
次のかけ算になる文章題を作りましょう．
- 内包量×外延量＝外延量
- 外延量×外延量＝外延量
- 内包量×内包量＝内包量
- 外延量×倍率＝外延量
- 内包量×倍率＝内包量
- 倍率×倍率＝倍率
- 内包量×外延量＝内包量
小学校の算数，かけ算・わり算で使用される量を分類するにあたり，「外延量」「内包量」という言葉が使われることがあります．外延量は5メートルや3秒などの量で，「足せる量」と言ったりもします．それに対し内包量の代表的なものは，時速5キロメートルといった速さです．単価や「1あたり」の量も，内包量となります．「足せない量」と呼ばれたり，時速5キロメートルは5km/hと表せることから「パー書きの量」と表現することもあります．
外延量(extensive quantity)・内包量(intensive quantity)の分類は，国内に限った話ではありません．以下をご覧ください．本記事の後ろで，また別の海外文献を取り上げます．
本記事で活用するわけではありませんが，内包量どうしを足していい場合もあります．ある道のりを往復して，行きと帰りとで速さが異なっていたら，それらの速さを足して2でわって得られる値と，往復の平均の速さとは，異なります（「足してはいけない」と言っていいでしょう）．ですが時速30kmで2時間走って，そのあと時速40kmで2時間走ったとすると，平均の速さは，30と40の中間，時速35kmです．1個28円のお菓子と1個42円の果物を，いくつかずつ買って合計を求めるときに，いきなり28＋42とするわけにいきませんが，お菓子と果物を同じ数ずつ買うのなら，「（28＋42）×同じ数ずつ」で計算すれば効率的です．
といったところで解答です．式はいずれも「3×5＝15」となるようにします．
「内包量×外延量＝外延量」は，小学2年生だと，「1さらに りんごが 3こ のって います．そのような さらが 5まい あります．りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう．」がいいでしょう．後との比較のため，速さを使った問題も，挙げておきます．「時速3kmで5時間進むと，何km進みますか．」です．
「外延量×外延量＝外延量」は，面積や体積が分かりやすいです．「縦3cm，横5cmの長方形の面積は何㎠ですか．」と「底面積が3㎠，高さが5cmの円柱*1の体積は何㎤ですか．」です．
「内包量×内包量＝内包量」について，小学校で「1あたり」や「パー(/)書き」を習っていても，すらすらと問題を作れないのではないかと思います．これは，3口のかけ算，かけ算の順序の《箱売り》に書いた，「n1[d1/d2]×n2[d2/d3]＝n1n2[d1/d3]」を使います．「1枚3円の切手が，5枚で1セットになっています．1セットは何円ですか．」という問題文にすると，「3×5＝15 答え15円」ですし，パー書きの量の式は「3円/枚×5枚/セット＝15円/セット」と表せます．
「外延量×倍率＝外延量」も，2年のかけ算の範囲内です．例えば「長さ3cmのテープがあります．5倍だと，何cmですか．」です．
「内包量×倍率＝内包量」の例としては，速さを何倍かしましょう．「時速3kmの5倍の速さは，時速何kmですか．」です．3km/h×5＝15km/hです．この式と，3km/h×5h＝15km（内包量×外延量＝外延量）とは，意味も，数直線で表したときの見え方も，異なっています．昨年，「時速4kmで3時間進んだときの道のり」と「時速4kmの3倍の速さ」の違いを，数直線で - かけ算の順序の昔話にて取りまとめました．
「倍率×倍率」は，長さの何倍かにします．「赤いテープの長さは，青いテープの3倍です．黄色いテープの長さは，赤いテープの5倍です．黄色いテープの長さは，青いテープの何倍ですか．」について，それぞれの長さを「赤」「青」「黄」とおくと，赤＝青×3，そして，黄＝赤×5＝（青×3）×5＝青×（3×5）であり，3×5＝15で15倍と求められます．
最後の「内包量×外延量＝内包量」ですが，かけられる数のほうの内包量は，複内包量にします．問題文は3口のかけ算，かけ算の順序の《2つに比例》をアレンジして，「ミニトマト好きの家族がいます．それぞれ，1日に3個ずつ，ミニトマトを食べます*2．5人家族です．1日に，この家族は全部で何個のミニトマトを食べるでしょうか．」とします．単位付きの式は，3[個/人・日]×5[人]＝15[個/日]となり，3[個/人・日]と15[個/日]は内包量というわけです．
元ネタです．
- Greeno, J. G.: Instructional Representations Based on Research about Understanding, Cognitive Science and Mathematics Education, Routledge, pp.61-88 (1987).
Cognitive Science and Mathematics Education
- 作者:Schoenfeld, Alan H.
- 発売日: 1987/05/01
- メディア: ペーパーバック
Table 3.2 (p.75)が，面白かったのでした．
表見出しの"Multiplicative Compositions"を直訳すると「乗法的な合成」です．何を合成するのかというと，Extensive（外延量），Difference（変化量），Intensive（内包量），そしてFactor（倍率）です．この4つは，p.73のFig 3.6，およびその前後の文章で図式化・具体化されています．ここにDifferenceが入るのも興味深かったのですが，これはやはり乗除ではなく加減の要素とみなすべきで，本記事では対象外としました．なおp.75の表のあとに，「合成」の例として，"a per b and b per c produce a per c"（a/b×b/c＝a/c）によって2つの内包量からまた別の内包量が構成されることや，外延量と内包量は"their is a per b, times an amount of b, resulting in an amount of a"（a/b×b＝a）と表されることなどが，例示されています．
冒頭の問題の中に（そして文章題を例示しながら）「内包量×外延量＝内包量」という関係式を入れましたが，Greeno (1987)には見当たりません．典型的な場面として，内包量と外延量をかけたら，外延量になるというわけです．それと，この文献において内包量×外延量か，外延量×内包量かというのは，「どっちでもいい」らしく，p.74のFig. 3.7では内包量にあたる"book per bag"が左に，p.78のFig. 3.11*3では"fingers on each monster/hand"が右に，それぞれ配置されています．
