0÷x＝0 - わさっきhb

いきなりですが問題です．

「0をどんな数でわっても0」を算数で学んだら，それをどんなところで活用するといいでしょうか．

細かいことを言うと，「どんな数」に0は含まれません．0を別にすれば，わる数は，小数，分数，（負の数，）無理数，複素数でもいいのですが，以下では正の整数に限定します．
さっそくですが解答です．筆算で，商の桁に0を書くときに，「0をどんな数でわっても0」を活用します．
具体的な筆算の例を：

1210÷11＝110というのは，電卓でも暗算でも，求められますが，筆算でとなると，上のように書くのが一般的です*1．
この筆算では，2番目の引き算（11−11）によって，わる数の部分が0になります．そこでもし，“わり算おしまい! よかった”，としてしまうと，筆算の最上段に書く「商」は，「11」で終わってしまいます．a÷b＝q ⇔ q×b＝aを使って，検算を試みると，11×11＝121≠1210で，おかしいことが分かります．
このとき，商の一の位に「0」を書きます（そうすると，検算の式は110×11＝1210です）．検算に合うようにという事情とは別に，そう書く理由を言うとなれば，「0を11でわると0だから」が使えるのです．代数的には110×11＝100×11＋10×11＝100×11＋10×11＋0×11*2と表せます．
補足を2点．110×11のようなかけ算の筆算なら，末尾の0を別にしてかけ算し，あとで0を書き足すというのも可能ですが，わり算でそうするわけにいかないのは，1310÷11を筆算にすれば確認できます．たとえば1111÷11＝101（商は111ではないですね）の筆算で，十の位に0を書くのに利用する性質は，「aがbより小さいとき，aをbでわったら，商は0であまりはa」です．

昨日軽い気持ちではてブした，昨年書かれた記事に，その後びっくりするほどはてブがついていました*3．

http://ch.nicovideo.jp/syuninn39/blomaga/ar244935

今年の秋は「かけ算の順序」の盛り上がりがなかったなあ，ここで巻き起こったのか…
コメントをしましたが，あいにくブログ主さんの意図ではなかったようです．
はてブのコメントの中に，https://twitter.com/genkuroki/status/272603939273310209がリンクされていて，教科書画像を見ていくと，「4÷0」のような，0でわる式はなく，「0÷4」「0÷2」「0÷6」と，0をわる式ばかりです．
また0÷4＝0となるのは，8÷4＝2，4÷4＝1と関連づけています．これは「0をどんな数でわっても0になるのはなぜか」の学習です．
ここから「0をどんな数でわっても0になるのを学ぶと，後にどこで利用することになるのか」を思いついて，作ったのが，上記の問いと答え（筆算）という次第です．
主任39さんの記事を読んだあと，当ブログで読み直した記事にリンクしておきます．

算数・数学とその教育（「かけ算の順序」を含みます）に関する記事については，以後，「math」カテゴリーとして書いていきます．安直ですみません．

*1:筆算生成プログラムは，Rubyで4年前に書いたものです．http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20110107/1294347303

*2:今回使用したわり算では，商に立てる数が百の位・十の位ともに1ですが，他のわり算の式でも表現できるよう，筆算に内在する式を書くなら，1210−11×1×100−11×1×10−11×0×1＝0となります．

*3:http://b.hatena.ne.jp/entry/ch.nicovideo.jp/syuninn39/blomaga/ar244935でファーストはてブとなっているほか，関連エントリーで，当ブログの記事が2つ，入っています．