ななめの長方形と正方形

いきなりですが問題です．

小学校の運動場に太郎さんがいます．テント用のペグ（杭）を4本と，ハンマーを持っています．
スタート地点で，ペグを打ち付けました．そして東に6メートル，北に2メートルを歩いて，またペグを打ち付けました．そこから北に3メートル，西に1メートルを歩いて，3本目のペグを打ち付けました．さらに西に6メートル，南に2メートルを歩いて，最後のペグを打ち付けました．南に3メートル，西に1メートルを歩いて，スタート地点に戻りました．
ペグを打ち付けた4つの地点を結ぶと，どんな図形ができるでしょうか．またその面積を求めましょう．

解答の前に問題です．

小学校の運動場に次郎さんがいます．テント用のペグ（杭）を4本と，ハンマーを持っています．
スタート地点で，ペグを打ち付けました．そして東に3メートル，北に1メートルを歩いて，またペグを打ち付けました．そこから北に3メートル，西に1メートルを歩いて，3本目のペグを打ち付けました．さらに西に3メートル，南に1メートルを歩いて，最後のペグを打ち付けました．南に3メートル，西に1メートルを歩いて，スタート地点に戻りました．
ペグを打ち付けた4つの地点を結ぶと，どんな図形ができるでしょうか．またその面積を求めましょう．

次郎さんのほうから，解答です．できる図形は正方形です．面積は10平方メートルです．ただし，この図形の1辺の長さを知ることなく，計算ができます．というのも，次郎さんの歩いた軌跡は，1辺の長さが4メートルの正方形を描いています．求めたい正方形は，軌跡となる正方形から，3メートルと1メートルが直角を挟む直角三角形を4つ，取り除いた形となります．ということで面積は，4×4−3×1÷2×4＝16−6＝10により，求められるのです．
図は以下のとおりです．正方形であることについては，正方形・正三角形をつくるをご覧ください．

太郎さんが打ち付けた4本のペグでできる図形は，次郎さんの（4本のペグでできる）正方形を2つ，隣り合わせた形となります．図は以下のとおりです．

図形は長方形です．いずれの角も直角です．長辺の長さは，短辺の長さの倍です．
面積は，次郎さんの正方形の2倍ということで，10×2＝20，答えは20平方メートルです．正方形が2つであることを使わないのなら，歩いた軌跡の長方形から，4つの直角三角形を取り除いた形と考えると，5×7−6×2÷2−3×1÷2−6×2÷2−3×1÷2＝35−6−1.5−6−1.5＝35−15＝20によって求められます．三平方の定理からだと，短辺の長さが $\sqrt{10}$ メートル，長辺の長さが $2\sqrt{10}$ メートルですので，そのかけ算によって，面積は20平方メートルとなります．
画像生成のコマンドを書いておきます．画像の作成には，ImageMagickのconvertコマンドを使用し，格子点の座標計算には，Rubyのワンライナーを入れています．引用符の中に引用符が入って，少々見にくいですが，bashおよびzshで動作確認済です．

convert -size 370x270 'xc:#f0fff0' -fill gray50 -stroke none -d
raw "$(ruby -e 'puts (0..5).to_a.map{|i|(0..7).to_a.map{|j|x=50*j+10;y=50*i+10;[:circle,x,y,x+4,y]}}.flatten.join(" ")')" -fill none -stroke darkgreen -linewidth 1 -draw "rectangle 10 10 360 260" -fill orange -stroke blue -linewidth 3 -draw "path 'M 60 260 l 300 -100 l -50 -150 l -300 100 Z'" -quality 93 taro.png

convert -size 220x220 'xc:#f0fff0' -fill gray50 -stroke none -draw "$(ruby -e 'puts (0..4).to_a.map{|i|(0..4).to_a.map{|j|x=50*j+10;y=50*i+10;[:circle,x,y,x+4,y]}}.flatten.join(" ")')" -fill none -stroke darkgreen -linewidth 1 -draw "rectangle 10 10 210 210" -fill orange -stroke blue -linewidth 3 -draw "path 'M 60 210 l 150 -50 l -50 -150 l -150 50 Z'" -quality 93 jiro.png

「正方形は長方形である」と「正方形は長方形ではない」について，集合を用いた書き分け（正方形全体および長方形全体からなる集合をそれぞれ，SおよびRと表したとき，「正方形は長方形ではない」はS≠R，「正方形は長方形である」はt∈S⇒t∈R）が個人的には好きなのですが，少し思案しまして，新たにPowerPointで図を作ってみました．

「背反的」と「包摂的」という言葉は，正方形でない長方形を持ってきてくださいで紹介してきました．2年における図形の弁別として，与えられた図形が正方形か，長方形か，四角形か，いずれでもないかを判断する際には，縦方向を見ます．4つの角がどれも直角*1の四角形というだけでは，長方形と結論づけることはできず，隣り合う辺の長さが異なること---上述の太郎さんの事例のように---，そして正方形でないことを，確認する必要もあります．
論証においては，横方向に見ます．着目する図形が正方形であれば，2本の対角線の長さが等しいといった長方形の性質や，4つの角の和が360度になるといった四角形の性質を用いても，差し支えないのです．
高学年で学習する四角形の関係は，次のように表せます．

ともあれ，この可視化が万能であるとは思っていません．「背反的な見方」と「包摂的な見方」を，1枚の図で表現できるというだけです．wikipedia:四角形の分類で描かれている図を，この三角形モデルで表現するのは，難しそうです．