ひいておろして三角形

いきなりですが問題です．

上の図のように，□に入った隣同士の2つの数について，大きい数から小さい数をひいた答えが，2つの数の下の□に入ります．
段数が増えても同じです．下の図には，□が6つありますが，1から6までの数を1つずつ入れます．(あ)と(い)には，どんな数が入るでしょうか．

元ネタです．

実用数学技能検定過去問題集 算数検定10級

昨日付の記事（イオンへ行ったらあっという間に2時間が過ぎるのはなぜか）およびサブブログの記事（数検10級に見る，かけ算の順序 - かけ算の順序の昔話）で取り上げた本の一つです．第1回の最後の大問(p.15)に，掲載されていました．
さっそくですが解答を考えてみます．5と3は配置済みなので，1，2，4，6をどこに入れればいいかとなります．最下段が「3」なので，(あ)とその右隣には，1，4が入ります．どちらがどちらかは，まだ，分かりません．
まず，(あ)に4が入るとすると，どうなるでしょうか．そうすると，(あ)の右隣には1が入ります．次に，5の右隣に1を入れれば，5−1＝4となるのです…が，1は中段で使用済みです．ということで，この選択は失敗です．
それでは，(あ)には4ではなく，1を入れましょう．(あ)の右隣には4が入ります．5の右隣に6を入れれば，6−5＝1の関係が成立します．(い)には，最後に残った2を入れます．そうすると，6−2＝4となり，うまくいきます．(あ)は1，(い)は2で，全体は以下のようになります．

書籍を離れて問題です．

下の図に1から15までの数を1つずつ入れて，どの左右に隣あった2つの数についても，大きい数から小さい数をひいた答えが，2つの数の下の□に入るようにしましょう．

何通りあるでしょうか．左右反転は別の解答と見なします．

さっそくですが解答です．次の2通りだけです．


何段になっても，条件を満たす配置が求められるよう，Rubyスクリプトを作りました(trisub.rb)．Gistに公開しています．引数は，段数を表す正整数nで，デフォルトは3です．nに対し，最上段はn個の箱，その下はn-1個の箱，…，で最下段は常に箱は1個です．総数はmax＝n＋（n−1）＋…＋1＝n（n＋1）／2で，1からmaxまでの数を1個ずつ，箱に入れることとします．
プログラムの中では，nをもとに1からmaxまでの値の配列を生成し，変数aに代入しています．このaの値をもとに，すべての組み合わせを試します．Rubyで順列といえば，Array#permutationというメソッドが使えます．計算量を減らすため，最上段のn個について，すべての組み合わせを獲得してbとし，「隣同士の2つの数について，大きい数から小さい数をひいた答えが，2つの数の下に入る」の要領でひき算をして，bの後ろに順次，追加していきます．最下段の1個に対応する数まで入ったら，bに格納された数値を並べ替えて，1からmaxまでになる（aと等しい）とき，bを解として出力します．
解の出力には「テキスト」と「SVG (Scalable Vector Graphics)」を採用しました．n＝5のときの最初の解は，テキストでは以下のとおり出力します．「=>」で区切って3つの配列があり，最初は最上段，次は最上段を含むすべての配置（5個，4個，3個，2個，1個と区切って読みます），最後はすべての配置を小さい数から順に並べ替えたものです．

[6, 14, 15, 3, 13] => [6, 14, 15, 3, 13, 8, 1, 12, 10, 7, 11, 2, 4, 9, 5] => [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]

SVG画像（XML文書）の生成にあたっては，昨年より利用可能となった，「UDデジタル教科書体」を使用しています（「4」の上部がくっついていないのが特徴的です）．Inkscapeを起動して，少し操作したところ，フォントに「UD Digi Kyokasho NK-R」が選べるのを知りました．「4」の文字を表示させて，SVGで保存し，Emacsで開いてみると，text要素のstyle属性の中に「font-family:'UD Digi Kyokasho NK-R'」と書かれていました．Firefoxでも，Chromeでも，UDデジタル教科書体で表示してくれます．
SVGからビットマップ（PNG）への変換について，Cygwinのconvertコマンドも，inkscapeコマンドも，このフォントを認識してくれず，「4」の上部がくっついたゴシック体で，PNG画像が作られてしまいました．GUIで動かすInkscapeのフルパスを指定して，「/cygdrive/c/Program\ Files/Inkscape/inkscape.exe -f SVGファイル名 -e PNGファイル名」の形で実行してみると，期待通りのPNG画像になりました．
nを1から5までに変えたときのテキスト出力は以下のとおりです．なおn=6は数分の計算ののち，一つも解を出力しませんでした．7以上で解は期待できません．

[1] => [1] => [1]

[1, 3] => [1, 3, 2] => [1, 2, 3]
[2, 3] => [2, 3, 1] => [1, 2, 3]
[3, 1] => [3, 1, 2] => [1, 2, 3]
[3, 2] => [3, 2, 1] => [1, 2, 3]

[1, 6, 4] => [1, 6, 4, 5, 2, 3] => [1, 2, 3, 4, 5, 6]
[2, 6, 5] => [2, 6, 5, 4, 1, 3] => [1, 2, 3, 4, 5, 6]
[4, 1, 6] => [4, 1, 6, 3, 5, 2] => [1, 2, 3, 4, 5, 6]
[4, 6, 1] => [4, 6, 1, 2, 5, 3] => [1, 2, 3, 4, 5, 6]
[5, 2, 6] => [5, 2, 6, 3, 4, 1] => [1, 2, 3, 4, 5, 6]
[5, 6, 2] => [5, 6, 2, 1, 4, 3] => [1, 2, 3, 4, 5, 6]
[6, 1, 4] => [6, 1, 4, 5, 3, 2] => [1, 2, 3, 4, 5, 6]
[6, 2, 5] => [6, 2, 5, 4, 3, 1] => [1, 2, 3, 4, 5, 6]

[6, 1, 10, 8] => [6, 1, 10, 8, 5, 9, 2, 4, 7, 3] => [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
[6, 10, 1, 8] => [6, 10, 1, 8, 4, 9, 7, 5, 2, 3] => [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
[8, 1, 10, 6] => [8, 1, 10, 6, 7, 9, 4, 2, 5, 3] => [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
[8, 3, 10, 9] => [8, 3, 10, 9, 5, 7, 1, 2, 6, 4] => [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
[8, 10, 1, 6] => [8, 10, 1, 6, 2, 9, 5, 7, 4, 3] => [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
[8, 10, 3, 9] => [8, 10, 3, 9, 2, 7, 6, 5, 1, 4] => [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
[9, 3, 10, 8] => [9, 3, 10, 8, 6, 7, 2, 1, 5, 4] => [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
[9, 10, 3, 8] => [9, 10, 3, 8, 1, 7, 5, 6, 2, 4] => [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

[6, 14, 15, 3, 13] => [6, 14, 15, 3, 13, 8, 1, 12, 10, 7, 11, 2, 4, 9, 5] => [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]
[13, 3, 15, 14, 6] => [13, 3, 15, 14, 6, 10, 12, 1, 8, 2, 11, 7, 9, 4, 5] => [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]

得られた解の数は，1＋4＋8＋8＋2＝23個なのですが，(あ)と(い)の入った画像を加えて，24個にすると，画像一覧でうまく収まりました．