九九2桁

　いきなりですが問題です．

　0から9までの数字を1つずつ使い，2桁の整数を5つ作ります．
　その5つの数がいずれも，九九の答えに現れるような，数の組み合わせと，九九の式をすべて答えなさい．

　例えば，3と5を選んで3×5＝15，とするのではありません．3と5を選んで，35としたら，これは（5×7または7×5の積ですので）九九の表にあります．残りの「0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9」から2つを選んで，九九の答えに現れる2桁の数を作り…と進めていきます．
　さっそくですが答えの一つです．

• 6×5＝30
• 7×7＝49
• 8×7＝56
• 9×8＝72
• 9×9＝81

　30，49，56，72，81を1桁ずつに分けて並び替えると，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9となります．
　元ネタは以下の本のpp.16-28です．「この題材はかつて私がNHKの算数番組でも紹介したものである。」と書かれていました．

田中博史の算数授業実況中継

　もう少し，ルールを定めます．「2桁の整数」について，「02」のように十の位に0が来るものは，認めないことにします．「数の組み合わせ」は，順序が異なっても同じであれば同一解とし（30，49，56，81，72は上記と同一とみなします），九九の式については，2つの因数が逆なら異なる式（上記で5×6＝30に替えたら異なる解）とします．
　では解き方を考えていきます．「0から9までの数字を1つずつ使い，2桁の整数を5つ作ります．」というのは，プログラマの観点では，0から9までの配列を並べ替えたのち，最初の2つの要素で（配列をaとすると，a[0] * 10 + a[1]で）2桁の整数，次の2つの要素でまた2桁の整数，…，とするのが思い浮かびます．「並び替え」には，RubyのArray#permutationメソッドを使用すれば，すべての並びを得ることができます．
　ただしこの場合，「すべての並び」に[3, 0, 4, 9, 5, 6, 7, 2, 8, 1]と[3, 0, 4, 9, 5, 6, 8, 1, 7, 2]が入っています．重複チェックは別途行う必要があります．
　与えられた整数nについて，九九の答えに現れるかどうかの判定と，九九の範囲のかけ算の式の文字列生成（例えばn＝24なら「3 * 8 = 24」「4 * 6 = 24」「6 * 4 = 24」「8 * 3 = 24」の4つ）は，それぞれメソッドを定義します．
　入出力にも注意しながら，完成したRubyスクリプトにはkukuniketa.rbという名前をつけました．Gistに置いています．
　解の最後の2つと，いくつの解が得られたかを，実行結果より抜き出します．自分のデスクトップPCで，実行時間は12秒ほどかかっています．

$ ruby kukuniketa.rb
(略)
6 * 5 = 30
7 * 7 = 49
8 * 7 = 56
8 * 9 = 72
9 * 9 = 81

6 * 5 = 30
7 * 7 = 49
8 * 7 = 56
9 * 8 = 72
9 * 9 = 81

80 answers.
Numbers (4 patterns): [18, 27, 30, 49, 56] [18, 30, 49, 56, 72] [27, 30, 49, 56, 81] [30, 49, 56, 72, 81]

　解の最後の2つについて，2桁の整数5つはともに[30, 49, 56, 72, 81]ですが，かけ算の式について「8 * 9 = 72」，「9 * 8 = 72」という違いがあるため，異なるものとみなして出力しています．「80 answers.」というのは，この数え方での解の数となります．
　最後の「Numbers」は，解があった，2桁の整数5つの組み合わせとなります．10個の数の順列は3628800パターンあるのですが，そのうち4パターンだけです．2桁の数として見ると，いずれにも「30」「49」「56」が出現します．残りは，「18」か「81」か*1，「27」か「72」かです．
　ここまで，組み合わせが減った理由は，『田中博史の算数授業実況中継』で先生と子どもたちの掛け合いを通じて，読み取ることもできますが，かわりに九九の表を見直しましょう．Googleで検索して画像を見つけるのでもかまいませんし，https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/digital/keirin-web.htmlの下方の九九の表をクリックして移動する，http://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/digital/ic/em/paint/2bs057_1_s.xhtmlのページでは，九九の表に現れる数に対し，塗りつぶしをすることができます．
　九九に現れる1桁の数を除外し，2桁の数をよく見ると，「9」が出現するのは，「7×7＝49」だけとなるのがわかります．
　同様に，「7」が出現するのは，「27」と「72」だけ（かけ算の式は省略）です．
　そのようにして絞り込んでおくと，数の順列は，3百万よりもずっと少ないパターンとなります．kukuniketa.rbでは，4と9を取り除いた[0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8]でも，答えを求めることができるようになっており，「80 answers.」「Numbers (4 patterns)」は変わりませんが，瞬時に実行を終えています．
　問題を変えてみます．

　1から6までの数を1つずつ使い，2桁の整数を3つ作ります．
　その3つの数がいずれも，九九の答えに現れるような，数の組み合わせと，九九の式をすべて答えなさい．

　この場合には，7も9も出現しないので，総当たりで（[1, 2, 3, 4, 5, 6]を入力に与えて）求めさせます．
　最後の解は「7 * 3 = 21」「9 * 6 = 54」「9 * 7 = 63」です．「274 answers.」そして「Numbers (22 patterns)」を出力し，2桁の整数3つの組み合わせは，[12, 35, 64] [12, 36, 45] [12, 36, 54] [12, 45, 63] [12, 54, 63] [14, 25, 36] [14, 25, 63] [14, 32, 56] [15, 24, 36] [15, 24, 63] [15, 32, 64] [15, 36, 42] [15, 42, 63] [16, 24, 35] [16, 32, 45] [16, 32, 54] [16, 35, 42] [21, 35, 64] [21, 36, 45] [21, 36, 54] [21, 45, 63] [21, 54, 63]となっています．

（最終更新：2019-03-11 晩）

*1:18に対して，九九の式は2×9＝18，3×6＝18，6×3＝18，9×2＝18の4通りがある一方，81に対しては9×9＝81の1つだけです．49も1通りで，それ以外は2通りです．解（九九の式の組み合わせ）は，[18, 27, 30, 49, 56]と[18, 27, 30, 49, 56]は32通りずつ，[27, 30, 49, 56, 81]と[30, 49, 56, 72, 81]と8通りずつで，合計80通りとなります．