いきなりですが問題です．
35×14を，筆算をせずに計算しましょう．
さっそくですが解答です．35×14＝（7×5）×（2×7）＝7×（5×2）×7＝7×10×7＝10×7×7＝490で，求めることができます．カッコの変更にあたり，結合法則を使用します．「かけ算では，じゅんじょをかえてかけても，答えは同じになります。」は，算数の3年の教科書に出現します．
続いてですが問題です．
2桁どうしのかけ算で，工夫すれば筆算をせずに計算できる式を作りましょう．
「35×14」については，「10をつくる」ことで，暗算で求めることができました．同じように，2つの因数の一方は5の倍数，他方は2の倍数で，ともに2桁になるものを選べばいい，と言いたいところですが，ここで制約を設けておきます（この制約は「10をつくる」以外の方法でも課します）．2桁の数について，十の位にも一の位にも，「0」が出現しないものとします．例えば「25×10」を考えてみると，5×5×2×5とするまでもなく，「25を10倍したら250」で終わってしまうため，対象外とします．20，30，...も（「10をつくる」ではなく「10をわける」で計算できるので），除外します．
そうすると，「10をつくる」場合，一つの因数は5×「3以上の奇数」，他方は2×「6以上」となります．「3以上の奇数」「6以上」のいずれにも，暗算で計算することを念頭に置き，「9以下」に制限*1すると，これで組み合わせが決まります．集合の表記では，｛5a×2b｜a∈｛3, 5, 7, 9｝,b∈｛6, 7, 8, 9｝｝となります．
ここまでの検討で，「100を作る」やり方での2桁のかけ算の式（とその計算）を書き出すことができます．Rubyのワンライナーにしました．実行コマンドは以下のとおりで，
ruby -e '$s="×";$q="＝";$u="（";$v="）";def m(*a);a.map{|c|Array===c ?($u+m(*c)+$v):c}.join($s);end;1.upto(9){|i|1.upto(9){|j|next if i%2==0||i*5<10||j%5==0||j*2<10;puts [m(i*5,j*2),m([i,5],[2,j]),m(i,[5,2],j),m(i,10,j),m(10,i,j),m(10,i*j),i*j*10].join($q)}}'出力は以下のようになりました．
15×12＝（3×5）×（2×6）＝3×（5×2）×6＝3×10×6＝10×3×6＝10×18＝180 15×14＝（3×5）×（2×7）＝3×（5×2）×7＝3×10×7＝10×3×7＝10×21＝210 15×16＝（3×5）×（2×8）＝3×（5×2）×8＝3×10×8＝10×3×8＝10×24＝240 15×18＝（3×5）×（2×9）＝3×（5×2）×9＝3×10×9＝10×3×9＝10×27＝270 25×12＝（5×5）×（2×6）＝5×（5×2）×6＝5×10×6＝10×5×6＝10×30＝300 25×14＝（5×5）×（2×7）＝5×（5×2）×7＝5×10×7＝10×5×7＝10×35＝350 25×16＝（5×5）×（2×8）＝5×（5×2）×8＝5×10×8＝10×5×8＝10×40＝400 25×18＝（5×5）×（2×9）＝5×（5×2）×9＝5×10×9＝10×5×9＝10×45＝450 35×12＝（7×5）×（2×6）＝7×（5×2）×6＝7×10×6＝10×7×6＝10×42＝420 35×14＝（7×5）×（2×7）＝7×（5×2）×7＝7×10×7＝10×7×7＝10×49＝490 35×16＝（7×5）×（2×8）＝7×（5×2）×8＝7×10×8＝10×7×8＝10×56＝560 35×18＝（7×5）×（2×9）＝7×（5×2）×9＝7×10×9＝10×7×9＝10×63＝630 45×12＝（9×5）×（2×6）＝9×（5×2）×6＝9×10×6＝10×9×6＝10×54＝540 45×14＝（9×5）×（2×7）＝9×（5×2）×7＝9×10×7＝10×9×7＝10×63＝630 45×16＝（9×5）×（2×8）＝9×（5×2）×8＝9×10×8＝10×9×8＝10×72＝720 45×18＝（9×5）×（2×9）＝9×（5×2）×9＝9×10×9＝10×9×9＝10×81＝810
Rubyのコードについて少し解説しておきます．文字数を減らすため，変数名とメソッド名は，（グローバル変数を表す「$」は別にして）1文字にしています．またmは，数の並びを引数にとり，かけ算の式の文字列を生成する自作メソッドで，例えばm(15,12)は"15×12"を，またm(3,[5,2],6)は"3×（5×2）×6"を返します．「3以上の奇数」「6以上」は，「next if i%2==0||i*5<10||j%5==0||j*2<10」でスキップ*2しない場合となります．
16通りの式が出て，めでたしめでたしではありません．これは「10をつくる」ことで暗算できる方法でしたが，その発展形として，「100をつくる」方法があります．一例をあげると「25×32」です．25×32＝25×（4×8）＝（25×4）×8＝100×8＝800で求められます．
計算の途中に「100をつくる」ための，2つの2桁の数はというと，一つの因数は「25」または「75（＝25×3）」，他方は「4の倍数」（で，2桁で表され1の位は0にならないもの）となります．一つの因数が，25の倍数となる理由は，100を素因数分解することで分かります．2×2×5×5ですが，ここでもし，2回出現する5を，一つずつ，2つの（2桁の数の）因数として振り分けると，次に，100の素因数になる2を振り分けたときに，2桁の数の少なくとも一方が，10の倍数となり，1の位が0になってしまうので，そういう振り分け方ができないのです．
2桁の数を九九の範囲で分解できる必要もあるので，「4の倍数」のところは，4×｛3, 4, 6, 7, 8, 9｝となります．
「100を作る」やり方での，2桁のかけ算の式（とその計算）を生成する，Rubyのワンライナーは以下のとおりで，
ruby -e '$s="×";$q="＝";$u="（";$v="）";def m(*a);a.map{|c|Array===c ?($u+m(*c)+$v):c}.join($s);end;[1,3].each{|i|3.upto(9){|j|next if j%5==0;puts [m(i*25,j*4),m(*(i>1?[[i,25],[4,j]]:[25,[4,j]])),m(*[i,[25,4],j][(i>1?0:1)..3]),m(*[i,100,j][(i>1?0:1)..2]),(i>1?[m(100,i,j), m(100,i*j)]:nil),i*j*100].compact.flatten.join($q)}}'出力は以下のようになりました．
25×12＝25×（4×3）＝（25×4）×3＝100×3＝300 25×16＝25×（4×4）＝（25×4）×4＝100×4＝400 25×24＝25×（4×6）＝（25×4）×6＝100×6＝600 25×28＝25×（4×7）＝（25×4）×7＝100×7＝700 25×32＝25×（4×8）＝（25×4）×8＝100×8＝800 25×36＝25×（4×9）＝（25×4）×9＝100×9＝900 75×12＝（3×25）×（4×3）＝3×（25×4）×3＝3×100×3＝100×3×3＝100×9＝900 75×16＝（3×25）×（4×4）＝3×（25×4）×4＝3×100×4＝100×3×4＝100×12＝1200 75×24＝（3×25）×（4×6）＝3×（25×4）×6＝3×100×6＝100×3×6＝100×18＝1800 75×28＝（3×25）×（4×7）＝3×（25×4）×7＝3×100×7＝100×3×7＝100×21＝2100 75×32＝（3×25）×（4×8）＝3×（25×4）×8＝3×100×8＝100×3×8＝100×24＝2400 75×36＝（3×25）×（4×9）＝3×（25×4）×9＝3×100×9＝100×3×9＝100×27＝2700
Rubyのプログラムコードについて，最初の因数が25か，75かで，別々のワンライナーにする方がすっきりすると思いつつも，1つで両方を扱いました．途中の「m(*[i,[25,4],j][(i>1?0:1)..3])」は，i>1すなわち最初の2桁の数が75のとき，m(i,[25,4],j)を呼び出すのに対し，そうでないとき，言い換えると最初の2桁の数が25のときは，m([25,4],j)を呼び出します．
「10をつくる」「100をつくる」の次に，「1000をつくる」というわけにはいきません．125×8＝1000となり，2桁の数の範囲を超えてしまうからです．
ですが別の，「つくる」方法があります．「111をつくる」という考え方です．37×3＝111です（37は素数なので，これ以上分解できません）．このことを使って例えば，37×24＝37×（3×8）＝（37×3）×8＝111×8＝888と求められます．
2つの2桁の数の，一つは，37またはその2倍の74です．もう一つは，3×｛4, 5, 6, 7, 8, 9｝とすれば，2桁の数になります．なのですが，74×27は，111×18となって，暗算で計算できるとはいいがたいです．工夫して計算したとき，111×「1桁の数」になる場合に，限ることにします．
Rubyのワンライナーは以下のとおりで，
ruby -e '$s="×";$q="＝";$u="（";$v="）";def m(*a);a.map{|c|Array===c ?($u+m(*c)+$v):c}.join($s);end;1.upto(2){|i|1.upto(9){|j|next if i*j>=10||j*3<10;puts [m(37*i,3*j),m(*(i>1?[[i,37],[3,j]]:[37,[3,j]])),m(*[i,[37,3],j][(i>1?0:1)..2]),m(*[i,111,j][(i>1?0:1)..2]),(i>1?[m(111,i,j),m(111,i*j)]:nil),111*i*j].compact.flatten.join($q)}}' | lv出力は以下のとおりとなりました．
37×12＝37×（3×4）＝（37×3）×4＝111×4＝444 37×15＝37×（3×5）＝（37×3）×5＝111×5＝555 37×18＝37×（3×6）＝（37×3）×6＝111×6＝666 37×21＝37×（3×7）＝（37×3）×7＝111×7＝777 37×24＝37×（3×8）＝（37×3）×8＝111×8＝888 37×27＝37×（3×9）＝（37×3）×9＝111×9＝999 74×12＝（2×37）×（3×4）＝2×（37×3）×4＝2×111×4＝111×2×4＝111×8＝888
件数としては，「10をつくる」という工夫ができるかけ算は，16通り，「100をつくる」は12通り，「111をつくる」は7通りの，合計35通りとなりました．2つの数を積の形で分解し，かける順番を変えて「10」「100」「111」のいずれかをつくり，残りの因数をかけることで，答えを求めています．
他の工夫の仕方として，99×53＝（100－1）×53＝100×53－1×53＝5300－53＝5247とするものや，https://twitter.com/takehikom/status/1168157548320448512のリンク先にある74×76＝5624，35×35＝1225のような速算法（簡便算）があります．いずれも，計算の途中に加減算を用いています．
本日の元ネタです．
- 作者: 樋口万太郎
- 出版社/メーカー: 東洋館出版社
- 発売日: 2019/08/10
- メディア: 単行本
- この商品を含むブログを見る
一方で，例えば4年生の単元「工夫して計算しよう」です。
25×12を工夫して計算しよう。
という問題があったとします。
①25×12＝5×5×3×4＝（5×5×3）×4＝75×4
②25×12＝5×5×3×4＝（5×3）×（5×4）＝15×20
③25×12＝25×4×3＝（25×4）×3＝100×3の3つの考え方が出てきました。3つとも工夫して計算の方法を考えているようですが，①はもっと工夫ができますし，②は順番を入れ替えており，3つの考え方では一番時間がかかります。100のまとまりを見つけて計算するという③が一番早く・簡単にできる考え方です。「12×25」といった似たような問題では③の考えを使ってもらいたいものです。このときには，「は・か・せ」と問うことは有効です。
(p.13)
この本は，台形面積・はかせどんと2018年・2019年の出版物に見る「1あたり」 - かけ算の順序の昔話で取り上げています．
積の形で分解するというのは，全国学力・学習状況調査の算数Bでも出題されています．全国学力テストの，乗法の結合法則の出題 - かけ算の順序の昔話で整理しており，例題または出題における「25×12」「25×32」「37×24」の式は，今回，作成したワンライナーの出力に含まれています．
