いきなりですが問題です．
縦18cm，横24cmの長方形の紙から，正方形をあまりが出ないように切り取るとき，いちばん大きい正方形の1辺の長さは何cmですか．
元ネタは以下のPDFファイルです．
さっそくですが解答です．以下のように切り取ると，1辺の長さが18cmの正方形が1つと，1辺の長さが6cmの正方形が3つ，作ることができます．だから答えは18cmです．
*1
一般化して「縦の長さがa，横の長さがb（ただしa＜b）の長方形から，正方形をあまりが出ないようにして切り取るとき，一番大きい正方形の一辺の長さ」はaとなります．a×bの長方形から，a×aの正方形を切り取ったら，残りはa×(b-a)の長方形となりますが，1×1の正方形をa(b-a)個作るのでもいいし，aと(b-a)の最大公約数をdとおけば，d×dの正方形を（a/d）・（（b-a）/d）個作る---冒頭の問題であれば，a＝18，b＝24，b-a＝6，d＝6で，6×6の正方形が3個できる---というのでもかまいません．
ただしここまで書いた解は，元ネタの指導案で意図するところではありません．2ページ目には，「右のような画用紙から，同じ大きさの正方形を，あまりがでないように切り取ります。いちばん大きい正方形の１辺の長さは何cmですか。」とあります（そして画用紙は縦18cm，横24cmの長方形です）．「同じ大きさの正方形」というのであれば，18と24の最大公約数は6ですので，6cmが答えとなります．図はこうなります．
*2
最小公倍数に相対するものと言えば，最小公倍数です．ということで問題です．
縦4cm，横6cmのカードがたくさんあります．同じ向きに並べてしきつめ，正方形をつくります．縦に何枚，横に何枚並べたとき，一番小さい正方形ができますか．そのときの正方形の1辺の長さは，何cmですか．
こちらは元ネタの前に解答です．4と6の最小公倍数は12です．だから，一番小さい正方形の1辺の長さは，12cmです．この正方形ができるのは，12÷4＝3より縦に3枚，12÷6＝2より横に2枚，並べたときです．
といったところで元ネタです．
あれれ…．「4と6の最小公倍数の24」って，そんなことはありません．4の倍数を小さい数から「4 8 12...」と列挙し，6の倍数を小さい数から「6 12...」と列挙するのを見ると，24より小さい公倍数（そして4と6の最小公倍数）である12に，○をつけないといけません．
12cm×12cmの正方形とともに，自分なりに図を作ってみました．
*3
小学生が手を動かしながら，学ぶことのできる倍数（0を倍数に入れないようにしながら）・公倍数・最小公倍数として，思い浮かんだのが「敷き詰め」です．そこで事例調査をしたところ，上のような出題を見かけたのでした．
なお，『小学校算数板書で見る全単元・全時間の授業のすべて5年〈上〉』には上記のような出題は見当たらず，倍数と公倍数の導入はpp.128-129です．そこでは，1人が「わりたわりたわりたわりた…」，もう1人が「みやしたみやしたみやした…」を，1音ずつ同時に言うと，ともに「た」と言うのは12番目，ということで3と4の公倍数は12，と学習します．1枚めくると（pp.130-131），「あきしまそう」と「きくもとてつたろう」を同じように言うのなら，ともに「う」を言う*4のは，6×9＝54よりも前の，18番目でして，このことを，6と9の最小公倍数と結びつけています．
*1:1cmを15pxに対応づけて，あとはいつものようにワンライナーで：convert -size 370x280 xc:'#f0fff0' -fill '#f0f0ff' -stroke blue -strokewidth 3 -draw 'rectangle 5 5 365 275' -fill none -strokewidth 1.5 -draw 'line 275 5 275 275 line 275 95 365 95 line 275 185 365 185' -quality 92 box1.jpg
*2:convert -size 370x280 xc:'#f0fff0' -fill '#f0f0ff' -stroke blue -strokewidth 3 -draw 'rectangle 5 5 365 275' -fill none -strokewidth 1.5 -draw 'line 5 95 365 95 line 5 185 365 185' -draw 'line 95 5 95 275 line 185 5 185 275 line 275 5 275 275' -quality 92 box2.jpg
*3:convert -size 370x370 xc:'#f0fff0' -fill '#f0f0ff' -stroke blue -strokewidth 3 -draw 'rectangle 5 5 365 365' -fill none -strokewidth 1.5 -draw 'line 5 65 365 65 line 5 125 365 125 line 5 185 365 185 line 5 245 365 245 line 5 305 365 305' -draw 'line 95 5 95 365 line 185 5 185 365 line 275 5 275 365' -stroke red -strokewidth 3 -draw 'rectangle 5 5 185 185' -quality 92 box3.jpg
*4:これまた授業の意図から離れますが，両者に出現する「き」について，どれだけ繰り返しても，ともに「き」と言うことがないのはなぜか，小学生に考えてみてほしいところです．
