いきなりですが問題です．以下の論証のおかしいところを指摘してください．
11÷3＝3あまり2
35÷11＝3あまり2
したがって，11÷3＝35÷11
RSAの回の授業前テストです．なおRSAを含む数論アルゴリズムでは「3あまり2」の表記は使用せず，商または剰余を別々に求めます．Cほかいくつかのプログラミング言語で，11 / 3は商の3が評価結果となり，11 % 3は余りの2です．商と剰余の組を返す，関数またはメソッドも，言語によっては提供されています．
さっそくですが「足りていない」解答例です．11÷3＝3.666...，35÷11＝3.1818...と，それぞれ割り進めて小数で商を求め，「したがって，11÷3≠35÷11」で終える答案です．これは，上記の11÷3＝35÷11と「矛盾する」という指摘であり，「論証のおかしいところ」の指摘になっていないのです．分数で表す，差をとって0でないとする，といった答案も同様です．
さて，最も簡潔に，上記の論証のおかしいところを示すとするなら，「初めの2行と，最後の行とで，＝の使い方が異なる」となります．「使い方」は「意味」でも，差し支えありません．
ただしその「意味」は何か，考えてみると，答えにくいところです（そんな事情から，1～2分で考えてもらう授業前テストにしました）．
別のアプローチをとってみます．11÷3を，Aに置き換えます．3あまり2は，Bです．35÷11はCとしましょう．
そうすると，「A＝B．C＝B．したがって，A＝C」と書くことができます．
最終的に，「A＝B，C＝B ⇒ A＝C というのは，余りのあるわり算では成立しない」と書けばよさそうです．
授業でも，「意味が違う」と「A＝B，C＝B ⇒ A＝C」を，指摘の例として紹介しました．
今回の余りの話は，小学校の算数で注意すべき事項なのですが，大学で情報工学を学ぶ中にも，A＝BとC＝Bをともに満たすからといって，A＝Cと書くことができないものがあります．俗に「オーダー」と言いますが，より正確には「ランダウの記号」です．＝
であり，
＝
ですが，だからといって
＝
とするわけにはいきません．
授業では，そこまで言わない代わりに，鍵の事前共有でランダウの記号を使用しました．n人いる世界で，対称（秘密鍵）暗号を用いる場合，の異なる鍵が必要となるのに対し，公開鍵暗号だと
組で済み，鍵の数が劇的に少なくなる，という話です．
