いきなりですが問題です．次の直角三角形の面積を答えましょう．式は不要です．答えに「約」をつけるべきでしょうか?
さっそくですが解答です．底辺も高さも4cmなので，面積は4×4÷2＝8で求めることができ，答えは「8㎠」です．斜辺の「約5.7cm」は，使用しません．
さて，「約8㎠」と書くべきか否かですが，底辺と高さが概数でないのならば，面積も概数ではないので，「約」はつけるべきでないと言えます．
元ネタは，平成3年度全国学力テスト小学校算数大問2の(1)です．辺の長さが3cm，4cm，5cmで構成される直角三角形の面積を求めるという出題で，式と答えの両方を正解したのは55.9%とのことです．解答類型を見ると，式に，斜辺の長さの「5」を含むのは30%近くありました．なお，「約」をつけて長さを提示し，その値を使って面積を求めるという問題は，全国学力テストには見かけません．
続いてですが問題です．次のように並んだ○の個数を，かけ算を使って求めることにします．
底辺と高さが5個の三角形と考えて，5×5÷2＝12.5と計算し，「答え12.5個」でよいでしょうか?
さっそくもなにも，よいわけありませんね．“小数”個が答えになるのは，おかしいです．
「5×5÷2」を生かしながら，正しい答えが得られるよう，囲みを設けることにします．
青で囲った部分の面積は，5×5÷2＝12.5で求められます．ここで斜辺に着目すると，○の5つを，真っ二つに割っているように見えます．
真っ二つの残りを囲ったのが，赤の囲みになります．面積が1×1÷2＝0.5で求められる直角二等辺三角形が，5つあります．
ということで○の個数は，5×5÷2と，0.5×5を合わせればいいんだよねと考えて，5×5÷2＋（1×1÷2）×5＝12.5＋2.5＝15と計算すると，「答え15個」になります．1個1個数えれば，合っているのが確認できますし，この求め方は，直角二等辺三角形の○の並びを維持したまま，底辺・高さの数を変更しても，適用できます．
ここまでの元ネタの一つは，階段状の面積比較です．
3番目の問題です．次のように並んだ○の個数を，かけ算を使って求めることにします．
ここで颯太（そうた*1）さんは，三角形の並びと考えて，底辺は7個，高さは4個で，7×4÷2＝14と計算し，「答え14個」としました．これでよいでしょうか，というと，もちろん間違いです．○がいくつあるか数えると，16個です．
日和（ひより）さんは，台形の並びと考えました．「（上底＋下底）×高さ÷2＝台形の面積」に当てはめます．上底は，最上段の1個，下底は，最下段の7個，高さは4個で，（1＋7）×4÷2＝32÷2＝16と計算し，「答え16個」としました．なぜこれで，正解になったのでしょうか．
とっとと，求め方です．台形がわかるように囲むと，次のようになります．
○を網羅していますが，○全体がこの青の囲みに入っていない箇所もありますし，○のない単位正方形もいくらか，入ってしまっています．
とはいえ，1個，3個，5個，…という並びにおいては，「（最上段＋最下段）×高さ÷2」で求めることができます．次の図で，確認することができます．
青の囲みと赤の囲みは，合同な台形です．これを結合すると，平行四辺形の形状になります．どの段も1＋7＝8個の○があり，高さは変わらず4です．ということでこのときの中の○の数は，1つ分の数×いくつ分＝8×4＝32個で，青の囲みに限るとその半分なので32÷2＝16個というわけです．
高さが偶数のときは，また別の囲み方でも，同じ式で求められます．
青の囲みの台形と，赤の囲みの長方形は，面積が等しくなります．赤の面積は，縦が2，横が7＋1＝8で，横×縦に当てはめると（7＋1）×2という式で表せます．かける数の2は，高さ4の半分と見なすことができ，（7＋1）×4÷2＝以下同様となります．
3番目の問題は，以下の本のpp.50-51の内容に着想を得ました．
図2-1 (p.50)の見出しは「整然と配列された物の個数をどう求めたか」で，○の並びを，長方形・直角二等辺三角形と対比しています．図より上の本文では，三角形の求積公式ではうまく行かないことを説明しており，次のページでは，台形の求積公式のほか，等差数列の和の式が書かれています．
