いきなりですが問題です．次の2つの図形で，塗りつぶされた領域の面積が大きいのは，どちらでしょうか．
元ネタです．
- 青山尚司: 提案する姿, 算数授業研究, 東洋館出版社, No.143, pp.30-31 (2022).
- 青山尚司: 授業報告 5年面積「比べる学び」の系統性を軸として，面積の指導を見つめ直す, 算数授業研究, 東洋館出版社, No.143, p.46 (2022).
また左の図形を「4段」，右の図形を「5段」と呼ぶことにします．なお原文はモノクロで，「5段」の塗りつぶしが濃くなっています．授業では，はじめに「多くの子が5段の方が大きいと判断した」(p.30)けれど，「自己解決後の話し合いで，多くの子は面積が同じと考えている」(同)に移行し，p.31には，納得の方法で，4段の方が大きいことを示しています．
ところでこの種の図形の「周りの長さ」に関しては，過去に記事を作っています．今回は「面積」です．
「納得の方法」を見る前に，自分なりに頭の中で検討してみました．階段状の図形について，段数を変えて，極端な場合を考えてみます．「1段」は，底辺・高さによって決まる正方形そのものです．段数を十分に大きくすると，直角二等辺三角形に近似でき，そうすると面積は，「1段」の半分です．
ということで，段数が増えると面積は小さくなり，4段のほうが，5段よりも面積が大きいと推測できます．
小学5年までの学習内容で，大小を比較するには…「塗りつぶされた割合」が，思いつきました．以下のように，補助線を引きます．
ここから，「1段」の面積を1としたとき，4段の塗りつぶされた割合が求められます．（1段の4分の1のサイズの）正方形16個のうち，10個が塗りつぶされているので，割合はと表すことができ，小数にすると0.625です．
5段も同様に，塗りつぶされた割合を求めますと，（1段の5分の1の）正方形25個のうち，15個が塗りつぶされているので，と表され，0.6です．
もとの大きさ（「1段」の面積）が等しいなら，塗りつぶされた割合が大きいほど，面積も大きくなります．ということで，4段の面積＞5段の面積が言えました．
算数授業研究No.143に目をやりまして，なるほどこれが，「5年面積」への導入になっているのかと，驚きました．以下のようにします（p.31をもとに作成）．
4段の図形を複製して2つにし，ギザギザの部分を噛み合わせて，長方形にします．5段の図形も同様です．
そうすると，底辺は等しいのですが，高さが異なります．計算しやすいよう，「1段」の正方形の1辺の長さを20cmとすると，「4段」の内部の小さな正方形1個の1辺の長さは20÷4＝5cmで，上の長方形の高さは，5×（4＋1）=25cmです．「5段」も，求めますと，小さな正方形1個の1辺の長さは20÷5＝4cmで，2つを合わせて長方形を作ったときの高さは4×（5＋1）＝24cmです．
面積を求めておくと，「4段」は，20×25÷2＝250㎠，「5段」は，20×24÷2＝240㎠です．
この考え方が，三角形の面積の公式の「底辺×高さ÷2」を導く際に，使えるというわけです．
