筆者が個人的に，ファンタジーの法則と呼んでいる問題解決法についてお話しましょう．ファンタジーというのは別世界と行き来する物語のことで，ファンタジーの法則とは，別世界と行き来することで問題をうまく解くという法則です．
【ファンタジーの法則】
「こちらの世界」で解けない問題があったら…
- 問題を「こちらの世界」から「別世界」に持っていきます．
- そして，問題を「別世界」で解きます．
- 最後に，得られた答えを「こちらの世界」に持って帰ります．
(プログラマの数学, p.238)
この次のページには，世界を行き来する図も掲載されています．
上記のファンタジーの法則について，私が最初に考え方を知ったのは，ラプラス変換でした．大学生のときです．読んだ本の名前は忘れましたが，ほぼ同形の図もありました*1．一見複雑な微分方程式が，ラプラス変換すると分数式として解くことができ，部分分数分解をしてからラプラス逆変換すれば，もとの微分方程式の解になる，というものです．
ともあれ，ファンタジーの法則は，適用範囲が広そうです．最初に思いつくのは，小学校からなじみの「文章題」です*2．
問題文を式に表すのは，「文章の世界」を「算数の世界」に持って行くということです．その問題が金額の問題だったとしても，算数の世界に行った時点で通貨単位が消えます．算数の世界で計算してから，その結果を，こちらの世界=文章の世界に持って帰ります．このときに通貨単位をつけるとともに，その結果が与えられた条件を満たすかの確認を経て，最終的な答えとなります．
プログラミングにも使えます．課題が与えられたとき，課題の各要素を，使用するプログラミング言語の世界に変換して，それからコードを書きます．動作確認やデバッグを行って，完成です．
このとき，「こちらの世界」の目標を，プログラムを作ることではなく，課題に書かれた仕様とするほうがいいでしょう．そうすると，こちらの世界に持ち帰る結果というのは，課題のもとでのどんな入力に対しても，別世界…プログラムに入力を与えて実行すれば，正しい出力が得られることに相当します．
もう一つ，学生時代に学んだことを思い出しました．NP完全に関係して出てきた，多項式時間還元可能性の概念です．二つの問題P1とP2があって，P1に属するどの個別問題も，多項式時間の操作で，P2の個別問題に変換できる*3とき，P1はP2に多項式時間で還元できる，と呼びます．この関係があるとき，P2が多項式時間で解ければ，P1の問題も多項式時間で解ける*4ことになります．これも，P1を「こちらの世界」，P2を「別世界」とみなせば，ファンタジーの法則と同じ構図です．
そういえば数学の用語として，こちらの世界を別世界に持っていく操作を，還元reductionあるいは帰着といいますね．「〜に帰着させる」という言葉が出てきたら，ファンタジーの法則発動!です．
