いつものように問題です．
「□」を，１台の机としたとき，次のように並べると，机はいくつありますか．式と答えを書きなさい．
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式に単位を書かせるべきか(3)に，類題があります．zatsugakuinfo.comも見ましたが，小学校低学年でもOKな「台」を使わせてもらいます．
求め方はいくつも考えられて，まず式に単位を付けないのは
- 縦に３台，横に５台だから，式は３×５=１５，答えは１５台
- 横に５台，縦に３台だから，式は５×３=１５，答えは１５台
- 縦方向に（1列ずつ）分割すると，式は３＋３＋３＋３＋３＝１５，答えは１５台
- 横方向に（1行ずつ）分割すると，式は５＋５＋５＝１５，答えは１５台
で，式に単位を付けるほうは（「式は」と「答えは」以降を省略します）
- １列あたり３台，それが５列あるから，３台／列×５列＝１５台
- １行あたり５台，それが３行あるから，５台／行×３行＝１５台
- 縦方向に（1列ずつ）分割すると，３台＋３台＋３台＋３台＋３台＝１５台
- 横方向に（1行ずつ）分割すると，５台＋５台＋５台＝１５台
- 縦方向に３台あって，５回繰り返しだから，３台×５＝１５台
- 横方向に５台あって，３回繰り返しだから，５台×３＝１５台
といったところです．まだまだ挙げられそうです*1．
次の問題です．
「□」を，１辺の長さが１cmの正方形としたとき，次のように並べると，面積はどうなりますか．式と答えを書きなさい．
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なお，「□」を並べる際に隙間はないようにします．リクエストがあれば，図を作ります．
机の問題と同形なのですが，こんな問題文にすると，答えとしてよさそうなものが減ってきます．
- 長方形の面積の公式（縦×横＝長方形の面積）を使って，式は３×５＝１５，答えは１５cm^2
- 長方形の面積の公式（横×縦＝長方形の面積）を使って，式は５×３＝１５，答えは１５cm^2
- 長方形の面積の公式（縦×横＝長方形の面積）を使って，式は３cm×５cm＝１５cm^2
- 長方形の面積の公式（横×縦＝長方形の面積）を使って，式は５cm×３cm＝１５cm^2
長方形の面積に関して，縦と横のどちらを先に書いてもよいらしいことは，式に単位を書かせるべきか(1)で調査済です．とはいえ，学校で例えば「たて×よこ＝面積」のみを教わったのなら，それに統一したほうが，処世術としてよさそうだ（５×３＝１５をバツとされる可能性がある）というのは，指摘しておいたほうがいいですね．
机の問題との同形性を利用すると，
- 横1cmあたりの面積は３cm^2，それが（横方向に）５cmあるから，３cm^2/cm×５cm＝１５cm^2
という式も考えられますが，問いの答えには，ちょっと，いやとてもとても，したくありません．「３平方センチメートル毎センチメートル」ってのが異様です．
ちなみに布地は，個人的には購入経験がないものの，よくmなどの長さの単位で単価が出ているけれど，実際には2次元平面に相当するものであり，幅については定数扱いになっていることは承知していますが，関連づけて検討できそうにも思えます*2．
もう1問，考えてみましょう．
「□」を，１ピクセルとしたとき，次のように並べると，全部で何ピクセルありますか．式と答えを書きなさい．ピクセルとは，画素のことです．
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これは机の解答が転用できそうです．
- 縦に３ピクセル，横に５ピクセルだから，式は３×５=１５，答えは１５ピクセル
- 横に５ピクセル，縦に３ピクセルだから，式は５×３=１５，答えは１５ピクセル
- 縦方向に（1ピクセルずつ）分割すると，式は３＋３＋３＋３＋３＝１５，答えは１５ピクセル
- 横方向に（1ピクセルずつ）分割すると，式は５＋５＋５＝１５，答えは１５ピクセル
- 縦方向に３ピクセル，そして縦方向に５ピクセルあるから，３ピクセル×５ピクセル＝１５ピクセル
- 横方向に５ピクセル，そして横方向に３ピクセルあるから，５ピクセル×３ピクセル＝１５ピクセル
- 縦方向に分割すると，３ピクセル＋３ピクセル＋３ピクセル＋３ピクセル＋３ピクセル＝１５ピクセル
- 横方向に分割すると，５ピクセル＋５ピクセル＋５ピクセル＝１５ピクセル
- 縦方向に３ピクセルあって，５回繰り返しだから，３ピクセル×５＝１５ピクセル
- 横方向に５ピクセルあって，３回繰り返しだから，５ピクセル×３＝１５ピクセル
転用どころか，ずいぶんと変更しました．とくに5番目と6番目の求め方は，式に至るまでの考えを書き直してみると，結局ここだけ，面積を求めるのになってしまいました! ピクセルって，机と正方形の折衷型なの!?
…おかしなのには理由があって，まずは，「ピクセル」は画素という，机で言うと1台に相当する単位なのが本来なのですが，検討や立式において，正方形に見立てた画素の1辺の長さとしても使っている点です．なお，ピクセルの長さの単位としての使用は，TeXや*3CSS (Cascading Style Sheet)にも見られ，計算機を扱う者としては，万人が同意するかは別にして，まあ妥当な考え方です*4．あるいは，ppi (pixel per inch)という単位を思い浮かべるのもいいかもしれません．72ppiとあったら，「これが１インチ」というのが分かる線分を用意して，それに沿うように，1辺の長さが７２分の１インチの正方形が，７２個並んでいるような状態です*5．
もう一つは，画像や画面というのは，「幅」と「高さ」によってその領域を規定するのが自然であり，比較的交換の可能な「縦」と「横」ではないということです．幅と高さが交換可能に見えて，交換可能ではないと言える，問題じゃなくて例文を作ってみましょう*6．
オンキヨー株式会社の製品であるスレートPC，TW317は，最大の解像度が1366×768であるが，本体を90度（どちらの向きでもよい）回転させると，特に設定をすることなく，768×1366の画面に切り替わる．
ちなみにTW317の実物は，仕事場にあります．回転可能な台は別途，購入しました．解像度の数値は製品サイトのものですが，「1366」は2で割り切れるものの4では割り切れず，中途半端な数字やなあと思って検索していくと，wikipedia:画面解像度に記載がありました．
例文ですが，2回出現しているかけ算の形の式について，左右を交換するわけにはいきません．しかし実体は一つのスレートPCであり，総画素数は回転させても変わることなく1049088ピクセル（またはドット），となります．
計算機を扱う者にとって，画像や画面の寸法を書く際，「３×５」あるいは「3x5」と書けば，幅が3ピクセル（またはドット），高さが5ピクセル（同）を意味します．
そういうことで，ピクセルの問題に対する答えはこうなります*7．
ところで，数学においてどちらでもよさそうに見えて順序があるものとして，「行列」が指摘できます．寸法でいうと，「n×m行列とm×p行列の積を求めることができ，結果はn×p行列になる*8」*9と書いたときの，行数，列数です．これ，どっちを行数どっちを列数に解釈してもいいなんてことにしたら，積が求められなくなります*10．また行列の中の特定の要素を指定する場合も，行を特定する情報が先，列はその後となります．TeX表記のa_{ij}について，iとjは何になるかを思い浮かべるなり，線形代数の教科書を見直すなり，上記Wikipediaのページを確認するすれば，明白でしょう．
*1:例えば，「１＋１＋…＋１＝１５」．
*2:同月23日変更．当初は「今回のケースとも少し違います」．
*3:2月1日抹消．なんでこんな勘違いしたんだ!?
*6:もう一つ例文を作れと言われたら，convertコマンドの引数を見直して，画像を90度，回転させたら，幅と高さは反対になりますよね，ですかね．
*7:同月23日追記：たった一つです．単位付きの式は，被除数も除数も積も，単位が「ピクセル」になってしまうので，採用しません．
*8:同月23日追記：これは今後使いにくいので，書き直す…「n×m行列Aとm×p行列Bに対して積ABが定義でき，n×p行列となる」．
*9:個人的にプログラミング授業などで行列を取り扱う際，「n×m行列」ではなく「n行m列（の行列）」と書くよう心がけています．「n×m行列」という表記は，wikipedia:行列に例の一つとしてあります．教養の線形代数で学んだときは，「(n,m)行列」，n=mのときは「n次の正方行列」，だったかな確か…．
*10:もちろんここには「n×m行列なら，積はnmになるじゃないか」という見え見えのボケが潜んでいます．真面目に解説すると，『どっちを行数どっちを列数に解釈してもいいなんてことにしたら，』行列の『積が』必ずしも『求められなくなります』．
