「かけ算の順序論争」も今は昔，なんて思いつつ，本を読んでみると，まだまだ気になることが出てきました．本日もその一つを書いていくのですが，中期的には，「論点」「対立」の洗い出しというのを，していけばいいのかなと考えています．
一例を挙げておきます．
この出題で期待されているのは，つばさが6×2，あおいが2×6ということなのでしょう．
本から学んだ「かけ算の順序」ツアー
そして，まとめとして引き出したいのは，“かけ算の式で表すときは，問題文から「1つ分の大きさ」と「いくつ分」を見つけるようにする”だと思います．
これを見たとき，こういう反論もできそうです．“このように，ペアで与えられた場合には，書き分けるのに賛成するが，このうち一方しか出題されなかったら，交換法則やトランプ配りを使って，どちらのかけ算の式でもよい”です．
この種の対立は，「かけ算の順序論争」のいろいろなシーンで，見ることができます．そこはどちらが教育的であるか，学習者である子どもたちに配慮されているか，でもって，先生方そして学校が選択していただくしかないのかな，と思っています．
一般化すると，こうです．ある問題(issue)に対して，Xという考え方とYという考え方があり，どうやら学校教育ではXを採っているのに対し，「かけ算の順序」を旗印に言動をしている人々は，Yを採っている，そんなXとYのペアを見つけていこう，というものです．
といったところで，新たに読んだ本を．
読み取り表す力を育てる「足場」のある算数授業―すぐに使える!読解問題付き
- 作者: 石田淳一
- 出版社/メーカー: 明治図書出版
- 発売日: 2011/02
- メディア: 単行本
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2学年で学習するかけ算から，抜き出します．
ベンチが4つあります。1つのベンチに子どもが3人ずつ座りました。まだ，5人立っています．子どもは全部で何人いるでしょう。
T この問題を図でかいてみましょう。
T 図Aと図Bのどちらが，この問題に合っていますか。
C 図Bは，4人ずつになっているから違う。
C 図Aは，3人ずつだし，ベンチも4つある。
T 図を見て，どんな式になるのか説明しましょう。
C 3人ずつのまとまりが4つあるので，3×4です。まだ，5人残っているので，それをたします。
(p.29)
○問題文では基準量が後に示されているので，図をかくことによって，3が基準量であり，4がいくつ分であることを理解させる。
(同)
この授業事例では，「基準量×いくつ分＝全体の量」(p.28)という書き方を採用しています．「基準量」という言葉は，あまりなじみでない…と思いきや，すでに少なからぬ数を書き出していました．
ただ，今回取り上げた出題は，《ＢＡ型》あるいは《乗》に，「まだ，5人立っています」という，たし算が入っています．《ＡＢ型》あるいは《被》に，たし算を入れた問題，ひき算を入れた問題も見られます．
一つの問題に対して，かけ算を使って複数の方法で異なる式を立て，共通する答えを求めるのは，pp.32-33にも見られます．ですが，ああこういうのこそきちんと，当雑記で取り上げないとと思ったのは，p.108にあります．6学年で，「比を使って問題を解こう」という授業事例です．
(p.108)
「さとうと小麦粉の重さの比を2:5にしてケーキをつくります」という前提を置き，いくつか問題を解きます．本エントリでは「小麦粉を150gにすると、さとうは何gいりますか」という問題1に着目します．
男の子（たくやさん）は「比の1にあたる量を求めます」という方針をとっています．帰一法ですね．150÷5＝30で，比の1にあたる量は30gです．さとうは比の2にあたる量なので，30×2＝60とし，答えは60gです．
女の子（えつこさん）は，2:5＝□:150という，比の形の等式を利用します．コロンのあとの5と150から，「×30」という関係を得ます．2と□にも，「×30」の関係がある（「等しい比の性質」）ので，2×30＝60とし，答えは60gです．
式だけを見ると，「30×2＝60」と「2×30＝60」のいずれも，この問題を解くのに使用してよい式と言えます．なお，一つの場面に対して，かけられる数とかける数を交換した2つのかけ算の式がともに正答とできる事例を，第2用法で書いていますが，単位のつけ方と，後で述べる「数量関係」に着目すると，今回はそれとは異なる事例と言えます．
さてこの2人の考え方は，表を作って関係を添えると，違いが明確になります．男の子（たくやさん）のプロセスは，次の表になります．
4マスではなく6マスですが，「1と5の列」と「1と2の列」の2つの4マスをくっつけた次第です．
女の子（えつこさん）の表は，次のとおり．
「2」と「5」は無次元量で同じ種類の数なので，上の行に書き，「60」と「150」は重さでこれまた同じ種類とできるので下の行に置きます．
黒板の「小麦粉の比に×30をすると150になります」は，5と150という上下を見たときの関係を言っているわけです．このように，2つの異なる種類の数を「×数」と結びつけることは，[Vergnaud 1983]のp.130，『算数・数学科重要用語300の基礎知識』p.187，『田中博史の算数授業のつくり方』p.146でも見ることができます．
なお，上述のとおり「5」は無次元量ですが，「150」にはgという単位が付きます．ということは，「×30」は「×30g」にすべきではないか，と考えることもできます．すると，5×30g＝150g（あるいは150g÷5＝30g），そして2×30g＝60gとなります．
Vergnaudほかから学んだところでは，2つの異なる種類の“量”を「×数[次元]」と結びつけることで，「a[d1]×b[d2/d1]＝p[d2]」という式を得ることもできます．これは「いくら分×1あたり量＝全体量」の形であり，学校で学んでいる式と，かけられる数・かける数が反対になっています．
その式は，次のように解釈できます．「×b[d2/d1]」が，a[d1]とp[d2]の間の乗法的関係を結びつける関数作用素であり，bの次元はaとpbのそれらをもとに（次元解析によって）定まる，ということです．このときbは，数教協スタイルで2年から学習している「1あたり量」というよりは，「単位あたり量」となります．「1あたり量」は，乗法の構成要素（積を求めるための因数の一つ）として導入されるのに対し，「単位あたり量」は，既知の2つの量の商によって算出する，という違いがあります．なお，学習指導要領では「単位量当たりの大きさ」と表記されています．
別のアプローチとして，単位を取り除き，先ほどのえつこさんの表のように，同じ列の上下の値の関係を式にすると，□＝△×30（上の数を30倍したら下の数になる）と表せます．このように，2つの数量の関係を式で表すことは，学習指導要領でも第4学年と第5学年で記載されています．4つの領域（数と計算，量と測定，図形，数量関係）のうち「数量関係」に属します．
さて，上下の値の関係は，□＝30×△という式で書くこともできます．△と□に値を代入することで確認できますし，直感的には，乗法の交換法則が成り立つことを根拠とするのでもいいでしょう．そして絶妙なことに，交換法則を他の法則とともに整理するのもまた，第4学年の数量関係のところです*2．
他の本からも学んだことを加え，さしあたりの結論を書いておきたいと思います．小学校の算数の出題において，「かけられる数とかける数を反対に書いてもよい（バツとされない）」のは，交換法則や，それに限らない数量の関係を○，△，□などで表すようになる時点，学年で言うと4年あたりからではないかということです．
まったくどうでもいい話ですが，男の子と女の子の人名のうち一方は，pp.108-109記載のものから変更しています．
（最終更新日時：Wed Jun 6 06:14:43 2012ごろ）
