□×△と△×□，答えは同じだけど，意味は違う

いきなりですが問題です．

カントールの言葉に，「数学の本質はその自由性にあり」とあります．かけ算の順序の話にも，当てはまると思いませんか?

さっそくですが回答です．

ええ，いいんじゃないでしょうか．「3×5という式で表される場面の集合」と「5×3という式で表される場面の集合」とが異なるような体系を構築する自由も，あるってことですから．

1. 「答えは同じ，意味が違う」とは

「3×5と5×3，答えは同じだけど，意味は違う」とはから転載します．
「式xで表される場面の集合」を S_x_ と書くことにします．そして，

s1:“さらが５まいあります。１さらにりんごが３こずつのっています。りんごはぜんぶで何こあるでしょう。”

s2:“１さらにりんごが３こずつのっています。そんなさらが５まいあります。りんごはぜんぶで何こあるでしょう。”

s3:“5枚の皿に3個ずつ乗った林檎の総数”

s4:“さらが３まいあります。１さらにりんごが５こずつのっています。りんごはぜんぶで何こあるでしょう。”

s5:“１さらにりんごが５こずつのっています。そんなさらが３まいあります。りんごはぜんぶで何こあるでしょう。”

s6:“3枚の皿に5個ずつ乗った林檎の総数”

と，6つの場面を設定すると，次のようになります．

aとbを相異なる数とします．小学校の2年すなわちかけ算を学習している段階で，学級内で共有されているのは S_a×b_≠S_b×a_ です．これは，

s1, s2, s3 ∈ S_3×5_

s4, s5, s6 ∈ S_5×3_

であるのに加えて，

s1, s2, s3 $\not\in$ S_5×3_

s4, s5, s6 $\not\in$ S_3×5_

となるからです．
「かけ算には順序がない」という信念あるいは判断基準のもとでは

s1, s2, s3 ∈ S_3×5_

s4, s5, s6 ∈ S_5×3_

であるのに加えて，

s1, s2, s3 ∈ S_5×3_

s4, s5, s6 ∈ S_3×5_

となります．なので，S_a×b_＝S_b×a_ として良さそうです．
これらを比較すると，次のことが言えます．非順序派は，一つの式で表せる対象を，広くとることを重視します．それに対して，小学校の指導は，一つの式で表せる対象が，より狭くなりますので，被乗数・乗数を交換した式との「書き分け」が行えます．
「3×5と5×3は，答え（積）は同じだけど，意味は違う」というのも，3×5＝5×3 および S_3×5_≠S_5×3_ によって表すことができます．

2. 図にする

□×△と△×□の違い，そしてその一例となる3×5と5×3の違いについて，かつて8マス関係表を考案し，アレイ図→問題文？と「⇔」と「⇒」を付加でも検討を試みました．
ほんの少し，図に手を加えてみます．小学校の指導は

で表すことができます（「図1」と呼びます）．これをもとに，非順序派の考え方は，

となります（同「図2」）．
ですが，それぞれの図に対して，少し注意が必要です．まず図1に入っている，囲い込みありのアレイは，図全体を簡潔にするとともに変更しやすく（被乗数・乗数が変わっても図示しやすく）するために採用したものであり，画像サイズの制限を無視すれば，横一列に15個並べ，3個ずつ・5個ずつに分けるという絵に置き換えても，差し支えありません．
図2でも，アレイは本質ではなく，囲い込みなしの15個横一列だとか，上で定義した文字を使った「S_3×5_＝S_5×3_」という等式（小学生向けには「3×5＝5×3」でしょうか），あるいはもっと単純に「同じ」という2文字で，アレイ図のところを置き換えることが可能です．
これらの図に対して，右2列分を取り出します（同「図3」，「図4」）．

そうすると，この2つは，小学校のかけ算の学習でも，うかがい知ることのできる図式となっています．後者を言葉で表すと，「3行5列の長方形的配列について，ドットの総数を求める式には，3×5と5×3の2つがある」です．
したがって，小学校では図1，図3，図4の図式が認められます．図2と図4を比べることで，小学校の算数指導で認められないのは，「さらが５まいあります。１さらにりんごが３こずつのっています。りんごはぜんぶで何こあるでしょう。」や「１さらにりんごが３こずつのっています。そのようなさらが５まいあります。りんごはぜんぶで何こあるでしょう。」を，囲い込みなしのアレイに対応づける箇所にある，と言えそうです．

3. 子どもは?

ここまで検討したところで，子どもは「□×△と△×□の違い」をどう考え，式や言葉，図に表しているのかが，気になってきます．
これですが，以前に読もう!で，記述を拾い上げています．

「ベンチが5こあります。そこに6人ずつすわっています。ベンチにすわっている人は何人でしょう」
問題をつくったA男は，数字の順序で5×6としてしまった。*1
そこで「絵」を描かせると，「ああそうか」とA男は6×5の式が立てられた。

（『算数の教え方には法則がある』p.71）

今日の算数の時間に，21×3の計算の仕方を考えました。それで最初に，21×3でとける問題をつくってみました。ぼくはつくってもう1回読んだら，3×21になってしまっていたので，すぐ書き直しました。
（『「板書見ながら」算数作文―話すだけの授業からの脱却』p.6）

ブラジルに行ったときに6の目のサイコロを見せて，「サイコロの目の数はいくつですか」と言うと，みんな「6」と言った。「どうして6と考えたの」と尋ねるとある子が出てきて，「3×2」と書いたんです。これを3×2と見たわけを聞きました。私がどうしてそんなことを聞いたかというと，式の後ろに潜んでいる感覚は，日本語圏以外では普通意味が逆です。3×2と言えば，日本では「3個のかたまりが2個ある」という意味ですが，英語圏も中国語圏もみんな「3個ありますよ，2つのものが」という意味です。
(略)だから，3×2とブラジルの子が書いたから，あえてちゃんと聞いてみたいと思ったんですね。そうしたら，はじめに出てきて説明した子は3個ずつのかたまりを作ってそれが2つ分と言いました。おやっ，これは日本と同じだぞと思っていると，他の仲間みんなが違う違うと言うのです。要するに間違っていたのです。どこの国も同じですね，間違える子がいるのは。本当は2個のかたまりが3個分だと別の子が説明してくれました。
（『坪田耕三の算数授業のつくり方 (プレミアム講座ライブ)』p.138）

最後の文は，少し困惑しますが，前後関係や図から，「本当は2個のかたまりが3個分だ」を「書いた式（3×2）だと，2個のかたまりが3個分になる」と解釈すればよさそうです．そしてこの事例から，坪田先生が関わったブラジルの子どもたちが，2×3と3×2の意味の違いを理解している，と言っていいでしょう．
一つ，書籍を追加します．本そのものは，これまでも何度か取り上げています．Amazonのマーケットプレイスで入手しました．

③式を見て絵題づくり
「3×2になる問題を絵で書いてごらん」といってやらせてみると，子どもたちは喜んで絵をかきます。
〔子どもがつくった3×2の絵題〕
（絵は省略）
ところが，2×3の絵題になっている子がいます．
*2
そこで，Mくんにたずねてみました．
T「○○パンの車の絵ね」
M「そう」
T「うまいねえ．きみ，このトラックの問題は何×何の問題?」
M「3×2」
T「そうか……じゃあ，このトラックの絵の横に，3×2のタイル図をかいてごらん」
M（わらばん紙の余白にフリーハンドで右の図をすらすらかく．）（タイル図は省略）
T「よし，じゃあ……かけ算のことばでいうと，①は? きみのはトラックだから」
M「1だいに3人」
T「〓〓*3は?」
M「2だい．あれ?」（自分の絵は1台に2人になっています．）
M「……」
だまって自分の机についたMくんは，こんどはつぎの絵をかいて持ってきました．

こんどは3×2の問題になっています．このように，かけ算の図のかき方がわかり，すいすい作図ができるようになっている子でも，かけ算の意味や，1あたり量の意味がしっかり身についていないことがあります．
（『さんすうの授業第1階梯―自主編成研究講座小学校1・2・3年生』pp.174-175）

4. 改めて，子どもは? そして先生は?

これらの本をもとに，集約を試みるなら，次の2点になりそうです．一つは，先生の（いわば上からの）指導だけでなく，子ども自身の見直し，また子どもたちどうしの会話を通じて，「□×△と△×□の違い」を子どもが確認しているという点です*4．そしてもう一つは，このような確認のプロセスが，「かけ算の意味の理解」の事例として，教師向けの本に書かれやすい点です．4冊の本が，向山型算数，筑波の算数，数教協&日教組と，まったく異なる母体からであるのも，無視するわけにはいきません．
先生の指導は多くの場合，子どもが被乗数・乗数が反対の式を書いた→その式の意味（式に対応づけられる図や状態など）を確かめさせる→子どもが反対だと気づいて式を修正する，という流れになります．これは一種のメンタリングです．かつて，学生向けにあなたもメンターを書いたことがあります．エッセンスを挙げておくと，「対話」，「助言」，そして「気づかせる」です．
なお，先生の指導による，「□×△と△×□の違い」の事例としては，算数についての評価やも該当します．親から見た，子どもの考えを記した事例にhttp://komachi.yomiuri.co.jp/t/2011/1210/467390.htm?o=2があり，当ブログでは教育現場に届かないやダブスタ考で見ていきました．

あともうひとつ問題です．

あなたの書いていることはでたらめだ．

これについても回答です．

だとすると，“さらが５まいあります。１さらにりんごが３こずつのっています。りんごはぜんぶで何こあるでしょう。”に対して5×3＝15という式を書き，不正解にされた子が，その子なりに理由を説明し，正解になると主張したときに，先生が「あなたの言っていることはでたらめだ」と言って認めないことも，していいってことですよね．

なお，冒頭の問題文について，「数学の本質はその自由性にあり」を調べたところ，

を知りました．最後に挙げた本は，そのうち買って読むことにします．
（リリース：Wed Oct 10 06:24:19 2012ごろ）

（最終更新日時：Tue Oct 16 04:16:30 2012ごろ）

*1:引用者注：「文章題をつくって解く学習システム」からの1題．子どもに与える指示は，pp.68-69によると「おはなしの問題をつくってごらんなさい。」「おはなしにあう絵も描いてごらんなさい。」「式と答えも書きなさい。」．なので，ここの引用の文章題・式・絵はいずれもA男がつくった．

*2:引用者注：絵の左上には「1台に2人」とある．子どもが描いたものではないので，切り落とした．

*3:引用者注：タイル図における分量の部分

*4:これは，“さらが５まいあります。１さらにりんごが３こずつのっています。りんごはぜんぶで何こあるでしょう。”という出題に5×3＝15という式を書いて，バツをもらった子は，添えられた「3×5＝15」という式と，それまでに授業で学んだことから，あ，そうだったと思い出す機会を得た，ということを意味しているように思います．「かけ算の順序論争」は，そういう学習の過程に焦点を当てさせないという点で，大人のディスカッションとなってしまっています．