1. 問題設定
http://hashtagsjp.appspot.com/tag/%E6%8E%9B%E7%AE%97で，[twitter:@CharStream]さんと[twitter:@Sparrowhawk4344]さんによる興味深いやりとりを見かけました．2人の対話は，1月20日現在も続いています．
お節介を承知で，掘り下げてみたいと思ったのは，次の2つのツイートです．
ここから，以下のとおり問題を設定することにします．
- 条件付き確率の式P(A∩B)＝P(A|B)×P(B)は，「1あたり×いくら分」で説明できるか?
- 事象AとBが独立のときの確率P(A∩B)＝P(A)×P(B)は，「1あたり×いくら分」で説明できるか?
なお，文脈に応じてを「a×b」もしくは「ab」，
を「a÷b」もしくは「a／b」と表記します．
2. P(A∩B)＝P(A|B)×P(B)
まず，P(A∩B)＝P(A|B)×P(B)を見ていくことにします．1あたり云々の前に，この式は，wikipedia:条件付き確率で，次のように記載されています．
AおよびBを事象とし、P(B)>0とすると、BにおけるAの条件付き確率は
＝
あるいは
＝
により定義される。
定義の式が2つあって，どちらを選べばいいんだ…と考える人は，まずいないでしょうね．一方で定義すれば，もう一方も導けます．
区別をつけるなら，前者は「確率は割合」という素朴な考え方にマッチします．後者は分数を使わないので，書きやすいというメリットがあります．
以降の議論にあたり，どちらを選ぶかですが，P(A∩B)＝P(A|B)P(B)を「定義」とするのでは，その定義からは1あたりも何も出せず，そこでおしまいになってしまいます．なので，前者すなわちわり算に基づくほうをベースとして，検討を進めていくとします．
わり算というよりは，割合あるいは比です．小学校で学習する，割合の式は，「割合＝割合に当たる大きさ÷基準にする大きさ」です*1．
この式の「割合」がP(A|B)に，「割合に当たる大きさ」がP(A∩B)に，「基準にする大きさ」がP(B)に，それぞれ対応づけられそうです．
ところが違いもあります．P(A|B)＝P(A∩B)／P(B)からP(A∩B)＝P(A|B)P(B)を得るには，「両辺にP(B)をかけること」を行います．それができるのは，等式の性質が使えるからです．そして，移項だとか分母を払うことだとかいった，等式の性質は，中学校で学習します*2．
等式の性質のほかに，式の形式的処理，そして乗法の交換法則を用いれば，P(A|B)＝P(A∩B)／P(B)からP(A∩B)＝P(B)P(A|B)を得ることも可能です．
そのようなプロセスで導き出せる式なので，結局のところ，P(A|B)P(B)なのかP(B)P(A|B)なのか，そしてP(A|B)とP(B)のどちらが「1あたり」でどちらが「いくら分」なのかを議論するのが，ナンセンスなように見えます．
そもそも「確率」からして，小学校の算数で学習しませんね．「降水確率」という言葉は見かけますが，百分率の話ですし，降水確率をわり算でもって，求めることはできそうにありません．
確率の式いじりはそんなくらいにして，小学校の，割合のかけ算に重点を移します．割合を含むかけ算は，次のように説明されています．
こうしたことから，整数や小数の乗法の意味は，Bを「基準にする大きさ」，Pを「割合」，Aを「割合に当たる大きさ」とするとき，B×P＝Aと表せる。
（小学校学習指導要領解説算数編p.167）
この文からいくつか，読み取れることがあります．「割合＝割合に当たる大きさ÷基準にする大きさ」から形式的処理によって「基準にする大きさ×割合＝割合に当たる大きさ」を導くことは，行いません．かといって，「基準にする大きさ×割合＝割合に当たる大きさ」を定義としているわけでも，なさそうです．
私はこの文を，次のように理解しています．割合が入り，かけ算の式にすることが期待される場面では，大人の議論では被乗数・乗数を交換した形を含め，いろいろな式の可能性があるけれども，小学校でこれまで学習したこと*3をうまく使いながら，言葉の式を導き，あとの単元や上の学年でも活用するためには，「基準にする大きさ×割合＝割合に当たる大きさ」による意味づけが最も良く，そのようにデザインされているのだ，ということです．
ここで「デザインされた」は，「多数の解が考えられる中で，その手段が選ばれた」と読み替えることができます．そこにはエンジニアリングデザインの考え方が含まれています．広義のデザインを小学校の算数に適用している，と言ってもいいでしょう．
「デザイン」や，上の引用の文末にある「と表せる」は，「基準にする大きさ×割合＝割合に当たる大きさ」以外による，整数や小数の乗法があっていいことを含みます．大人の議論でかけ算を分類していくと，面積あるいは量同士の積は，「基準にする大きさ×割合＝割合に当たる大きさ」とは別物とみなされています．
3. P(A∩B)＝P(A)×P(B)
次に，P(A∩B)＝P(A)×P(B)の式を見ていきます．wikipedia:条件付き確率の説明は次のとおり．
2つのランダムな事象AとBは
P(A∩B)＝P(A)P(B)
のとき、またそのときに限り独立である。
これは定義式ではなく，独立であるための必要十分条件となっています．実際，「2つのランダムな事象AとB」を用意して，それに対してはP(A∩B)を，この式によって定義するというのは，数学の議論とは呼べません．
そこで，P(A∩B)，P(A)，P(B)の意味あるいは値を別途与え，そのもとで真偽判定をすることになります．
事象の割り当てを，試してみます．大小のサイコロを1個ずつ同時に振るのを前提として，事象Aを「大の出目が3の倍数になる」，事象Bを「大小の出目の和が3の倍数になる」とします．言葉上は，BはAに依存していますが，上の計算式にあてはめると（P(A∩B)＝4／36＝1／9，P(A)＝2／6＝1／3，P(B)＝12／36＝1／3），AとBは独立となります．
しかし，2箇所の「3の倍数」を，ともに「5の倍数」に変えると，独立でなくなります（P(A∩B)＝1／36，P(A)＝1／6，P(B)＝7／36）．大の出目が4のとき，和が5の倍数になるような小の出目は1と6です．
右辺すなわち「P(A)×P(B)」のかけ算*4は，条件判定のための式であり，そこに「1あたり」などに由来する「意味」を与えることはできそうにありません．ついでに，3の倍数で独立性を確認した式のうち，P(A∩B)＝4／36やP(B)＝12／36を得るには，場合の数の積の法則を使用しており，これは直積（デカルト積），すなわち〈乗数と被乗数を区別しない文脈〉です．
4. まとめ
冒頭の2つの問題について，答えは次のとおりです．
- 「条件付き確率の式P(A∩B)＝P(A|B)×P(B)は，「1あたり×いくら分」で説明できるか?」の答えは，「割合を使って，ある程度は説明できそうだが，この式を得るまでに利用する事柄が別に多くあるので，「1あたり×いくら分」を用いて説明しようとするのがどうやら良くなさそう」．
- 「事象AとBが独立のときの確率P(A∩B)＝P(A)×P(B)は，「1あたり×いくら分」で説明できるか?」の答えは，「「1あたり×いくら分」の使える余地はなさそう」．
「かけ算」「1あたり×いくら分」はあくまで一例であり，今回の話の根底にあるのは，小学校の算数がどうなっているのかを理解するにあたり，
- ナニナニの意味は，コレコレである．
という考え方と
- ナニナニの意味には，コレコレがある．
という考え方との対立だと思っています．
小学校学習指導要領解説算数編で，「意味」を検索してみると，多数出現しますが，かけ算など，演算の意味については，後者に基づく記述なのを見ることができます．
とはいえ，ほかの意味を認める余地があることと，ほかの意味が通じるかどうかは別問題です．ある式が，別の意味になってしまう例として，先日はリンクのみとしましたが，『板書で見る全単元・全時間の授業のすべて 小学校算数2年〈下〉』のpp.46-47の次の絵がもっとも分かりやすいでしょう．
「そうじゃない，その式の意味は，カクカクシカジカなんだ」と考える人々の中で，P(A∩B)＝P(A|B)P(B)やP(A∩B)＝P(A)P(B)の式の意味に「1つ分」「1あたり」を持ち出すってどういうことなんだろう，と指摘をする人がこれまでいなかった状況を，残念に思います．
参考文献・関連情報
ここまで「小学校学習指導要領解説 算数編」を何度か参照してきましたが，これは無料で入手でき確認しやすいという理由からです．入手方法は学習指導要領を読むで整理しています．
本日の記事を書くにあたり，読み直した本や情報は他にもあります．本の中では，『[asin:B000JA277K:title]』p.161に「乗法の3つの意味」「除法の5つの意味」とあるのを確認しています．
Greerの表は，小学校での学習が期待される，かけ算・わり算の使われる場面を，もっとも幅広く挙げているように思います．この中で，日本の算数ではどれが見られないか，解かせようと思ったらどんな道具立てが必要になりそうかを，考えることもできます．
いくつかの文献を組み合わせ，「乗法の3つの意味」に分離量・連続量を入れて6パターンで表にする試みを，昨年11月に行っています．
付記A. 3用法に進展
途中に書いた「基準にする大きさ×割合＝割合に当たる大きさ」は，割合の第2用法あるいは比の第2用法のことです．
かつて，3つの関係式の発祥が分かっていないことを第2用法の中で書き，放置していたのですが，最近，ヒントになる記述を見つけました．
『算数・数学用語辞典』のpp.179-180です．
比の第一用法
比を求める問題です。a，bが分かっているとき，bに対するaの比，
a：b＝a÷b＝を求めます。
比の第二用法
比と，比の後項から，比の前項を求めます。
比の前項＝比の後項×比
a＝b×
とすれば，求められます。
比の第三用法
比と，比の前項から，比の後項を求めます。
比の後項＝比の前項×比
b＝a÷
とすれば求められます。
「a：b＝a÷b」は小学校で扱わないのは複比例の考察でチェック済みです．そして「前項」「後項」は，いまの算数から離れている感もありますが…
想像するに，筆頭の編著者で1925年生まれという武藤徹氏が，この形で学習したのでしょう．
付記B. 「1つ分」
冒頭で引用したツイートには「1つ分」という表記がありますが，個人的にはこれは「一つ分の大きさ」と別にしたほうがいいと考えています．こちらでまとめました．
（最終更新：2013-01-22 早朝）
*1:小学校学習指導要領解説算数編p.167を改変．ただしこれは割合の「定義」ではなく，除法の意味のうち「乗法の逆として割合を求める場合」の式です．
*2:中学校学習指導要領解説数学編p.75，小学校学習指導要領解説算数編p.18．
*3:「1mのねだんが85円のリボンを25m買うと代金はいくらか」について式を立て，答えを求められることが，「1メートルの長さが80円の布を2.5メートル買ったときの代金が何円になるか」の素地となります．
*4:言葉遊びですが，P(A∩B)＝P(B)×P(A)と書くこともできます．右辺に交換法則を適用する以外に，P(B∩A)＝P(B)P(A)とA∩B＝B∩Aを組み合わせることでも，導けるからです．
