わさっきhb

大学（教育研究）とか ，親馬鹿とか，和歌山とか，とか，とか．

内包量×外延量，I×E

OoM

認知心理学からみた数の理解

認知心理学からみた数の理解

速度や密度のような「度」と，濃度のような「率」は，2量の割合として表現されるが，一方で，2量とは独立に存在する固有の量であり，内包量(intensive quantity)，または単位あたり量とよばれる。内包量は，長さ，体積，時間などの外延量(extensive quantity)と対比させて論じられることが多い（銀林，1975など）。つまり，外延量では，2m＋5m＝7mのように合併によるたし算が成り立つが，内包量の場合には，濃度10%の砂糖水と濃度20%の砂糖水をたしても濃度が30%にならないように合併によるたし算が成り立たない。一般に，外延量を扱う演算が主に加減法であるのに対し，内包量は，たとえば，速度×時間＝距離のように乗除法によってとらえられる。見方を変えれば，乗除法は，内包量×外延量＝外延量と構造化されるものである(Schwarz, 1988)。なお，先に，内包量は2量の割合として表現されるとしたが，厳密には，そのように表現されるのは，等速運動のように内包量が一定であるか，人口密度のように内包量が一定とみなせる場合に限られる。
(p.123)

「銀林，1975」は，『量の世界』のことです．「Schwarz, 1988」は見慣れないのですが，章末の引用文献には，次のように書かれています．

  • Schwartz, J. L. 1988 Intensive quantity and referent transforming arithmetic operations. In J. Hiebert & M. Behr (Eds.) Number concepts and operations in the middle grades. Reston, VA: National Counsil of Teachers of Mathematics. 41-52.

これはisbn:0873532651だ（前出：1988年のmultiplicative structures）と気づいて，読みました．以下のページ番号は，この本からです．
要点としては，量を伴うかけ算は，次の3種類に大別されるということです．

  • 内包量×外延量＝外延量 (I×E＝E')
  • 内包量×内包量＝内包量 (I×I'＝I'')
  • 外延量×外延量＝外延量 (E×E'＝E'')

「'」や「''」は，もちろん微分をしているわけではなく，一つの等式の中で別々の外延量なり内包量なりを区別するための記号なのでしょう．
量の表現（数と値の区別）そして「パー書き」が，次のように形式化されています(p.42)．

(5.0, lb, weight of coffee)
(15.00, $, cost of coffee)
(3.00, $/lb, price/lb of coffee)

各3つ組の最初の項は数，2番目は単位(referent)，3番目はその量の説明，となります*1．そして上記3つのうち，「(3.00, $/lb, price/lb of coffee)」が内包量になるという次第です．
この書式をもとにして，I×E＝E'となるかけ算の式には，次の2つが書かれています(p.46)．

(5.0, candies/bag, kind of party favor) × (6, bags) and
(14.5, mi/hr, average speed on trip) × (3.2, hr, time trip takes).

前者は，5ずつ数えていくことで，「(30, candies) corresponds to (6, bags)」，すなわち「袋に5個ずつキャンディが入っています．袋が6つあったら，キャンディは全部でいくつですか」に対する答え「30個」を得ています．ここで「(6, bags)」と，2つ組になる点について，本文では断り書きが見当たらなかったのですが，分離量を単位なしの数と見なしているのものと思われます．
I×I'＝I''およびE×E'＝E''の例は次のとおり（いずれもp.51）．

(33.3, mi/gal, fuel efficiency of car on trip)
× (1.5 gal/hr, car's rate of burning fuel on trip)
＝ (49.95, mi/hr, average speed on trip)

(3, blouses) × (5, skirts) ＝ (15, outfits)
or
(3.2, cm, width of rectangle)
× (6.4, cm, length of rectangle)
＝ (20.48, ㎤, area of rectangle)

I×I'＝I''は，乗法の結合法則で引っかかった，パー書きどうしのかけ算と思えば良さそうです．E×E'＝E''のうち一つめは直積，二つめは面積です．
ただし，本文の分量として，多く解説をしているのはI×E＝E'のタイプです．比例のグラフがあるほか，わり算だとどうなるかといった検討もなされています．
といったことから，3つのうち著者が最も重視しているのは「内包量×外延量＝外延量」です．これは遠山が主張した「総量＝内包量×容量」と同型になっていると言ってよさそうです．
この文献は，そのような2つ組・3つ組を用いて乗除算を児童らに指導すればいいという提案はしていません．量を伴う乗法・除法をどのように認識すればいいのか，その「ものの見方の一つ」だと思います*2．

関連

（最終更新：2014-04-05 晩．Schwartzの文献のタイトルの中で「quality」を「quantity」に訂正しました）

*1:加減算は構文的には，referentと説明が一致する量どうしでのみ行える，と考えればよさそうです．

*2:「かけ算の順序」の関連でいうと，I×E＝E'が，量を伴う乗法の主要なものであることは，「被乗数と乗数の区別」の必要性を支えるものとなります．そして，その区別を認識した上で，被乗数・乗数を乗算記号の左右どちらに置くかについては，この解説では何も言っていません．