For instance, the mathematician's concept of integer or real number multiplication is commutative: M x N = N x M. (That is one of the axioms.) The order of the numbers does not matter. Nor are there any units involved: the M and the N are pure numbers. But the non-abstract, real-world operation of multiplication is very definitely not commutative and units are a major issue. Three bags of four apples is not the same as four bags of three apples. And taking an elastic band of length 7.5 inches and stretching it by a factor of 3.8 is not the same as taking a band of length 3.8 inches and stretching it by a factor of 7.5.
wikipedia:en:Multiplication_and_repeated_additionでリンクされていたページのひとつです．
上の文章を，訳してみます．
例えば，整数・実数のかけ算について数学者が思い抱くのは，交換法則M×N＝N×Mが成り立つことである．これは公理の一つである．数の順序はどちらでもいい．そこには単位がついておらず，MもNも純粋な数である．しかし抽象的でない，実世界のかけ算の計算では，可換であるとは限らず，単位が重要な問題となる．3つの袋に4つずつりんごがあるというのは，4つの袋に3つずつりんごがあるのと同じではない．そして，7.5インチのゴムバンドを3.8倍まで伸ばすというのは，3.8インチのゴムバンドを7.5倍に伸ばすのと同じではない．
「純粋な数では，乗法の交換法則が成り立つが…」というタイプの主張をしている英文は，これまでも集めています．見直してみました．
- Vergnaud, G. (1983). Multiplicative Structures. In Lesh, R. and Landau, M. (Eds.), Acquisition of mathematics concepts and processes, Academic Press, pp.127-174. [isbn:012444220X]
Example 1. Richard buys 4 cakes priced at 15 cents each. How much does he have to pay?
a = 15, b = 4, M1 = [number of cakes], M2 = [costs]
(snip)
From Schema 5.1 children can extract a×b＝x. In Example 1, for instance, the child recognizes the situation to be multiplicative, and therefore multiplies 4×15 or 15×4 to find the answer. This binary composition is correct if a and b are viewed as numbers. But, if they are viewed as magnitudes, it is not clear why 4 cakes × 15 cents yields cents and not cakes.
（例1: リチャードは，1個15セントのケーキを4個買います．いくら払わないといけませんか？
a = 15, b = 4, M1 = [ケーキの個数], M2 = [金額]
(略)
図5.1から，子どもたちはa×b＝xを得ることができる．たとえば例1では，子どもはかけ算の場面であることを認識し，そしてその結果，4×15か15×4のいずれかの式で答えを得る．この2項演算は，aとbをともに（純粋な）数と見るなら正しい．しかし，（量の）大きさとして見たとき，4個×15セントによって60セントが得られ60個ではないのがなぜかというと，明らかではない．）
(p.129)
- Anghileri, J. and Johnson, D.C. (1988). Arithmetic Operations on Whole Numbers: Multiplication and Division. In Post, T.R. (Ed.), Teaching Mathematics in Grades K-8, Longman Higher Education, Allyn and Bacon, pp.146-189. [asin:0205110762]
For children, three lots of four and four lots of three are fundamentally different. They think in concrete terms---three children each having four candies are luckier than four children each having three candies although the total number of candies is the same.
（子どもたちにとって，「4が3つ」と「3が4つ」は基本的に別物である．具体物で考えると---4つずつキャンディを持っている3人の子どもは，3つずつキャンディを持っている4人の子どもよりも，運がいい．キャンディの総数は同じなのだけれども．）
(p.157)
The balance or symmetry in the multiplication square relates to a very important property called the commutative property of multiplication, which states that for any two numbers a and b, a×b＝b×a (for example, 3×4＝4×3). Note that this is a property of numbers. While it is true that 3×4 is equal to 4×3, 3×4 may not be the same as 4×3 in a real-life situation.
（かけ算の表の釣り合いや対称性は，乗法の交換法則と呼ばれる重要な性質に関連している．すなわち，任意の2つの数aおよびbに対して，a×b＝b×aである．例えば3×4＝4×3となる．注意しないといけないのは，これは数の性質ということである．3×4が4×3と等しいのは事実だが，日常生活においてそれらが同じであるというわけではない．）
(p.177)
- Greer, B. (1992). Multiplication and Division as Models of Situations. In Grouws D.A. (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, National Council of Teachers of Mathematics, pp.276-295. [isbn:1593115989]
For example, consider the following contrasting pair:
A rocket travels at a speed of 16 miles per second. How far does it travel in 0.85 seconds?
A rocket travels at a speed of 0.85 miles per second. How far does it travel in 16 seconds?
From a purely computational point of view both problems involve the multiplication of 16 and 0.85, but the former is more difficult to envisage as requiring multiplication for solution; many children, indeed, judge that the answer would be given by 16÷0.85 (Greer, 1988).
Results from several experiments using problems from a variety of situation classes consistently show the multiplier effect (De Corte, Verschaffel, & Van Coillie, 1998, p. 203), namely that the difficulty of recognizing multiplication as the appropriate operation for the solution of a problem depends on whether the multiplier is an integer, a decimal greater than 1, or a decimal less than 1 (Bell et al., 1984; De Corte et al., 1988; Fischbein et al., 1985; Luke, 1988; Mangan, 1986).
（例えば，次の対照的なペアを考えよう：
あるロケットは1秒間に16マイルのスピードで進む．0.85秒ではどれだけ進むか?
あるロケットは1秒間に0.85マイルのスピードで進む．16秒ではどれだけ進むか?
純粋に，計算の観点では，どちらの問題も，16と0.85をかければ答えとなる．しかし前者のほうが，答えとして乗法を使用すると考えるのが難しい．実際，多くの子どもたちが，16÷0.85を解答として選択している．
様々な分類の（乗法の）場面に基づいた出題で，実験がなされ，いずれも乗数効果，すなわち，ある問題を解く際に適切な演算として乗法を認識・選択することの困難さが，乗数が「整数」「1より大きい小数」「1より小さい小数」のうちどれであるかに依ること，を示している．）
(p.286)
Q. I've noticed that the authors of general mathematics textbooks most often explain a multiplication problem when presented horizontally, like 20 x 5 = 100, as multiplier x multiplicand = product. But in business mathematics textbooks, the authors explain the same multiplication problem as multiplicand x multiplier = product. For example, the problem 20 x 5 is thought to be 20 5s in general math texts, while in business math texts, it's thought of as five 20s. Why is there this inconsistency?
A. To my knowledge, there is no definitive consensus in the mathematical community about whether a multiplication expression such as 20 x 5 represents multiplier x multiplicand or multiplicand x multiplier.
(snip)
However, if a multiplication expression represents a particular situation, then it's important to be clear about its numerical representation. For example, if the expression referred to twenty $5 bills, then your observation is that a general math text would represent it as 20 x 5 while a business math text would represent it as 5 x 20. Neither is more precise or accurate than the other.
（Q. 一般的な数学の教科書ではよく，かけ算の問題で式を，20×5＝100のように書いて，「かける数×かけられる数＝積」となっています．しかし経営数学の教科書では，同じかけ算の問題を「かけられる数×かける数＝積」として説明しています．例えば20×5は，一般的な数学では20個の5と考えるけれど，経営数学では，5つの20と考えるのです．どうしてこんな不一致があるのでしょうか?
A. 私の認識では，数学のコミュニティでは20×5といったかけ算の式に対し，「かける数×かけられる数」と「かけられる数×かける数」のどちらであるかについて，明確なコンセンサスはありません．
(略)
しかしながら，数式が特定の場面を表すとなると，数の表示を明らかにすることが重要になってきます．例えば，5ドル紙幣が20枚あるというのを表す式は，あなたのご覧になったものを根拠とするなら，一般的な数学では20×5とし，経営数学では5×20と書くことになります．そのどちらがより正確だとか，より適切だとかいうものではありません．）
To my mind, it makes no difference at all which is which. In fact, today it is more common to call them both "factors" and not make such a distinction. I wouldn't fight over this, on either side.
I recently saw a facsimile of a 19th-century text that defined the multiplier as the SMALLER of the two numbers, regardless of the order. So there's yet a third definition to use.
Really, the only distinction that can be made relates to the meaning in a given application: the number you start with (say, the size of each of several groups) is the multiplicand ("thing to be multiplied" in Latin), and the one being thought of as the number of groups, by which the original number is multiplied, is the multiplier. I would tend to read 456 x 10 as "456 ten's," giving me Britannica's definition; but I can also see it as "456, multiplied by 10," giving me your definition. If I write it as456 x 10 ----I see 10 as the multiplier, because in the usual process of multiplying, I multiply each digit of 456 BY a digit of 10. I'm operating on the 456, using the 10. Even then, I'm not sure that means anything. But I suspect this is the reason for calling the smaller number the multiplier, because it is easier to use the smaller number on the bottom (or to add that many of the larger number).
（私の考えでは，それはどっちでもいいことだ．事実，それらをともに「因数」と呼んで，区別しないのが，より一般的だ．私は「かけられる数×かける数」と「かける数×かけられる数」のどちらかに加担して，言い争うつもりはない．
先日，19世紀の文章の模写で，かける数を，順序（かけ算の記号の左か右か）ではなく，2つの数のうち小さい方として書かれているものを見た．なので3番目の定義もあるのだ．
実際には，違いはその使われ方次第だ．いくつかグループがあって，それぞれのサイズが同じとき，そのサイズはかけられる数で，グループの数にあたるほうは，元の数をどれだけ増やすかということだから，かける数になる．ブリタニカの定義だと，456×10は「456個の10」と読みたくなる．だけどあなたの定義だと，この式は「456の10倍」だ．456×10を筆算で求めるなら，10をかける数と見る．というのも，かけるというプロセスは通常，456のそれぞれの桁を10「倍」するからだ．456に対して，10を作用させることになる．そのときでさえ，かけ算の式の定義に，意味があるとは思えない．だけど，これはより小さい数をかける数と呼ぶ理由になっているように思う．というのは，小さい方を筆算の下の方に置けば（あるいは，大きい数を何度も足せば）簡単になるからだ．）
かけ算で「数の順序はどちらでもいい」という考え方は，広く認められているわけではなく，（純粋な）数どうしの積といった，適用対象の限定があると言ってよさそうです．乗法の交換法則についてもです．
なぜ「どちらでもいい，というわけにいかない」かというと，数式が，私とあなた，過去の私と未来の私とのコミュニケーションツールだからだと思っています．そのコミュニケーション対象（大きくとらえるなら，コミュニティ）に応じて，暗黙の了解となっているものが，異なっているわけです．
学校も，一つ（以上）のコミュニティを形成しています．ネット社会も，コミュニティとなっています．「かけ算には順序がない」と信じる人々のコミュニティも，「かけ算の順序はどうでもいい」と信じる人々のコミュニティも，「かけられる数とかける数の区別が大切」と信じる人々のコミュニティも，考えられます．最後に挙げたコミュニティでは「かけ算の順序」という言葉が通じない可能性があることにも，注意をしたいところです．
そういったコミュニティを比較しながら，共通点・相違点を見出していくのが，実のところ「かけ算の順序論争」の面白さであるように思っています．
これからも，見かけた事例や主張をもとに，暗黙の了解事項，あるいはコンテキスト，あるいはパースペクティブを，自分の言葉で表していくことにします．
英語情報に関するリンク集です．
- かけ算の式と言葉の順序 メモ
- □×△と△×□，答えは同じだけど，意味は違う（2013年版）
- 算数教育・資料集（外国語文献）
- Multiplication in classes
- What are the views on "order of multiplication" and "order of addition" outside Japan? - かけ算の順序の昔話
Vergnaudの引用と私訳に現れる「M1」「M2」「量」などについて，詳しくはかけ算と構造をどうぞ．
