によると，学校図書の算数の教科書には，「ならび方が何通りあるかを，計算で求める」という，力だめし*1の出題があります．
「Aさん，Bさん，Cさん，Dさんの4人の子どもがいます。4人がならぶと何通りのならび方があるか考えましょう。」という問題です．かきかけの樹形図のほか，「□×□×□×□」という，穴埋めのかけ算の式があります．式として，期待されるのは，「4×3×2×1」です．というのも，この式の上には「□に数を入れて，あおいさんがどのように考えたのか書きましょう。」という指示が，そして下には次のようにセリフが，それぞれあるからです．
1番目は4人のうちの1人を決めるので，
4通りの決め方があるね。
2番目は，その1人に対して
3通りの決め方があるね。
ということは，2番目までは
4×3通り
あるんだね。
（転載元）
このような問題設定では，式に「1×2×3×4」と書くのは無理があります．あおいさんの「4×3通り」にも，図の1番目から4番目までの配置（関連：4＋4＋3＋4＝15と4＋3＋4＋4＝15）にも，合わないからです．
順列のかけ算については，当ブログで以前に検討をしています．書くことは信じることでは，「場合の数の積の法則」を暗に使用していることや，式に添えられる単位について指摘するとともに，1番目から4番目までの並べ方を樹形図ではなく表にしています．なぜ教材研究では，割合の第2用法を根拠として「4×3」になることを確認したほか，「4×3×2×1」と「1×2×3×4」との比較を試みています．
ところで，同型に見える2つの樹形図から，乗法構造の違いを知ることができます．
教科書ではなく別の本を使いましょう．『かけ算には順序があるのか (岩波科学ライブラリー)』p.18には，次のように2つの絵を横並びにしています．
図1は，学校図書の「4×3通り」と同じで，A，B，C，Dから2つを取り出して並べる場合の数です．図2は，6人に4個ずつミカンを配るという図です．
ここで図1の数量の関係は，次のような表であらわすことができます*2．
1番目だけの「4」通りと，2番目までの「12」通りが，同じ行に位置します．
それに対し，図2の関係は次のようになります．
人数の「6」人と，ミカンの数の「24」個は，列が同じであり，行は異なります．
この違いは，次の2つのSCHEMAに対応します（次のステップ）．
「同じ量空間での乗法関係」と「異なる量空間での乗法関係」という違いがあります．『算数・数学科重要用語300の基礎知識』p.187では，「スカラー関係に基づく乗法」と「関数関係に基づく乗法」と書かれています．なお，同書およびVergnaud (1983)をもとにすると，ミカンの数を表す式は6×4ではなく4×6になります．
乗法構造としての主要な違いは，ここまで書いたとおりですが，順列（図1）と配る話（図2）には，まだまだ違いがあります．順列については，「3番目まで」と一つ増やしたら，場合の数は「×2」となります．というのも，4人から2番目までが決まっている状態では，3番目は残り2つから選ぶことになるからです．しかしミカンのほうには，そのような制約はありません．どのミカンも同じ数の房があるとしても，それは配られる人数や，1人に何個ミカンを配るかには依存しないのです．人数・個数の変更に応じて，房の数が変わるようなミカン，見たことありますか?
語順あるいは思考の順番にも，注意をしておきたいところです．配る話では，「6人に4個ずつミカンを配る」とも「6個ずつ4人にミカンを配る」とも言うことができます（これが，おやつの じかんや8マス関係表の基礎となっています）．それに対し，1番目・2番目の件で，「2番目は3通りの決め方があるね。1番目は4通りの決め方があるね。ということは，2番目までは3×4通りあるんだね。」と言うわけにはいきません．1番目として何を選ぶかを決めていない状態では，「2番目は3通り」と言えないからです．
（2021年1月追記）本記事の内容をもとに，サブブログ（かけ算の順序の昔話）にていくつか記事を公開しています．合わせてご覧ください．
