小数のかけ算の文章題に対して，二重数直線で解く手順を示しながら，比例関係・割合・3用法との関連を明らかにしていきます．
さっそくですが問題です．
1mの長さが80円の布を2.5m買いました。
代金はいくらですか。
これは『小学校学習指導要領解説 算数編』p.166の改題です．
解き方のGIFアニメーションは次のとおり．
以下，主要なところを取り上げます．まずは二重数直線．
左端に縦線を入れて，その上下に「0」を書きます．小学校の算数ですので，ここより左に数量は来ません．
矢印の先ですが，上には「代金(円)」，下には「布(m)」を書いておきます．「1」があるほうを下に置くのが，慣例となっています．
この数直線の上に，値を書き込んでいきます．
「1mの長さが80円」とあるので，同じ縦位置になるように，長さの数直線上に「1」，代金の数直線上に「80」を書きます．それらを結びつける，縦の線も忘れずに．
次に「2.5m」とあるので，長さの数直線上に「2.5」を書きます．この場合は1の右に書きますが，1より小さければ，左に書くことになります*1．縦の線も，引きましょう．
「代金はいくらですか」については，2.5の上の，円の数直線上に「□」を書いておきます．これが求めたい値となります．
このとき，「1」と「□」が斜め（はすかい）の位置にあることにも，注意しておきましょう．もしそれらが同じ数直線上にあれば，第1用法を使うことになります．あるいは，縦の位置が同じであれば，それは第3用法です．第1用法・第3用法とも，わり算で求めることになります．それはさておき…
図に「かけ算の関係」を書き込むことにします．1から2.5に向けて矢印を置き，「×2.5」を添えます．
これは「1mから2.5mへと，2.5倍になった」という意味になります．最初に書いた「1」と「2.5」には，メートル(m)という単位がつきますが，「×2.5」と書いたときの「2.5」には，単位がつきません（無次元量とも言います）．またこの値が「割合」と呼ばれます．この変換こそが，（ある種の）“量のかけ算”と“割合”とを結びつけるものであり*2，比例の考え方（英語ではproportional reasoningといいます）を使って問題を解く際の大事なステップとなります．
次に，「80」から「□」に向けて，同じように矢印を入れます．
そしてその矢印にも，「×2.5」を添えます．その意味は「長さが2.5倍になったら，代金は，もとの金額の2.5倍になる」です．ここが，比例の考え方(proportional reasoning)の中核をなしています．
「もとの金額」は，80円です．では「80円の2.5倍」は，いくらでしょうか．式を立てましょう．かけ算ですね．
筆算で，80×2.5＝200を求めます．
200と出たところで，数直線の「□」に200を当てはめておき，大小関係に問題がないことも，見ておきましょう．
答えで単位を間違えると，元も子もないので…「200円」です．おしまい．
ここまでの手順を箇条書きにしておきます．
- 二重数直線を正しくかく。
- 「１」は下の数直線に
- 同じ量（長さ，金額，重さ，割合 など）は同じ数直線に
- 求めたい値に「□」
- １と□が“はすかい”になっていれば，かけ算！
- 図を使って「何の何倍」の関係を明らかにする。
- １から，同じ数直線のもうひとつの数に向けて矢印をかき，「×数」をそえる。
- もうひとつの数直線にも，同じように矢印と「×数」
- 式を立て，答えを求める。
- 「何を何倍したら□になる」をもとに，式を立てる。
- 暗算または筆算で，□を求める。
- 単位をつけて答えをかく。
小学校の5年で学習する，小数のかけ算・わり算の文章題*3について，次のように分類することができます．
- 第1用法か，第2用法か，第3用法か
- 割合に当たる数が，1よりも大きいか，1よりも小さいか
- 割合に当たる数が，文章題でも割合（百分率などを含む）として書かれているか，文章題では割合でない量として書かれているか
今回は「第2用法」に基づく問題であり，割合に当たる数は「1よりも大きい」のに加えて文章題では「割合でない量」として書かれています．
他のパターンの出題については，別の記事でご紹介します．
（最終更新：2014-01-11 早朝）
*1:どれだけ離して書くかというのは，この問題を解く上ではあまり重要ではありません．大小関係を間違えていないことが確認できれば十分です．
*2:Vergnaud (1983)では，「4個×15セントによって60セントが得られ60個ではないのはなぜか」と問題意識を挙げた上で，「×4」がscolar operatorに当たるとして，表に矢印を添えた図式をもとに，乗法構造の一つを解説しています．なお，「1個あたり15セント」と考え，比例（関数）関係を用いた分析も，そのすぐ後に書かれています．
*3:実はもう一つ前提があります．単一の演算（simple operationあるいはsingle operation）で求められるものという条件です．例えば，「2mの長さが80円の布を5m買いました。代金はいくらですか。」は対象外となります．田の字の解法あるいは比例式（内項と外項の積など）を知っていれば，簡単に計算できるのに，それらが採用されていないのは，なぜかというと，小数のかけ算・わり算の文章題を通じて適切に演算の決定ができ，比例の考え方を用いて式を書けるようになることが，期待されているからです．
