扇形とはまた別に，円の分割についてのGIFアニメーションを作成しました．
分割数を大きくしていくことで，緑色で塗られた，円周と交わる領域が，減っていくのが分かります．n×nの分割において，nを大きくすれば，緑色の正方形の枚数はnに比例することになります．全体の枚数がnの2乗であるのと比べて，小さくなるので無視でき，オレンジの正方形の枚数をnの2乗で割れば，半径1の四分円の面積となるわけです．
座標などはRubyスクリプトで計算させ，実際の描画はImagemagickのconvertコマンドで行っています．スクリプトの公開は，いましばらくお待ちください．
プログラミングにあたり，注意をしないといけなかったのは，円周がマス目の角っこ（正方形小片の頂点）と交差*1する場合がある点です．そのような交点を中心にするなら，交点の左下の正方形は内部，右上の正方形は外部，左上と左下の正方形は円周上にあります．
最初に出現するのは5×5のときです．25×25では，4点が該当します．
そのような交差は，学習指導要領解説（読み比べ（8））での分割*2にも，現れます．もし，子どもたちが方眼紙上にコンパスで円を描いたら，ちょっとしたずれで，角っこと交わらないような図ができてしまう可能性もありますが，三平方の定理を知っていれば，円の半径を10とし，四分円を10×10に分割するとき，2点（8,6）および（6,8）は，円周と交わる角っこであることを確認できます．5×5のときは，（3,4）と（4,3）の2点，25×25のときは，（7,24），（15,20），（20,15），（24,7）の4点です．座標は計算でも求められますが，ピタゴラス数*3を知っていれば，漏れなく，効率良く得ることができます．
この交点の存在は，小学生に，三平方の定理やその逆，有理数と無理数との違い*4を知ってもらう入口になりそうにも感じました．
（最終更新：2014-07-15 朝）
*1:2点（n,0）および（0,n）は除外して考えます．
*2:10×10ですが，小学校学習指導要領解説 算数編に載っているメッシュは，11cm×11cmの領域に対し，左下を中心として半径10cmの四分円を描いています．東京書籍の教科書では，10cm×10cmでした．試作したプログラムは，学習指導要領解説のように，右や上に円周外の方眼がある場合でも，描画できるようにしています．
*3:例えば，http://www.hyogo-c.ed.jp/~meihoku-hs/club/astronomy-py.html
*4:四分円の円周とマス目の角っことの交差は必ず偶数個になります．奇数個になるには，（x,y≦1，nは正整数）とy=xの交点が，マス目の角っこ，座標としてはxyとも有理数でないといけませんが，その座標（p,p）について
と表され，nが正整数のときpは無理数となるからです．
