「正方形は長方形である」と「正方形は長方形でない」の形式化を行ってみます．
まず，正方形全体からなる集合をS，長方形全体からなる集合をRと書きます．黒板やノートにかかれる正方形・長方形も，それぞれそう見なせるなら，SやRに属するわけです．
もっと精密にするなら，例えば（これを常に採用するわけでない，と断りを入れた上で），S＝｛｛(0,0),(a,0),(a,a),(0,a)｝｜a＞0｝，R＝｛｛(0,0),(a,0),(a,b),(0,b)｝｜a＞0,b＞0｝と定め，実際の図形を2次元座標にマッピングするのは，その図形がSやRに属するか否かを判定する人が行うことにすればいいでしょう*1．
「でない」のほうから，式をつくっていきます．「正方形は長方形でない」は，S≠Rで表されます．
正方形と長方形を区別する記述として，学習指導要領解説に見られる「正方形はみな形が同じ」は，全称記号∀と相似の∽を用いて，∀t1∈S ∀t2∈S t1∽t2と表せます．
もし，合同（相似で，相似比が1:1の場合）を相似とみなさないなら，合同記号≡を加えて，∀t1∈S ∀t2∈S t1∽t2∨t1≡t2とすればいいでしょう．
それに対し，「長方形は形が異なる」は，¬（∀t1∈R ∀t2∈R t1∽t2）＝∃t1∈R ∃t2∈R ¬（t1∽t2）です．*2
つぎに「である」のほうを．「正方形は長方形である」は，t∈S→t∈Rと書けます．
全称記号を使うなら，∀t∈S t∈Rがその一例ですが，少々分かりにくいので，x∈RをR(x)と書くのを認めると，∀t∈S R(t)とできます．
t∈S→t∈Rに全称記号を入れ，∀t（t∈S→t∈R）と表すと，これはS⊂Rと同値です．この関係は，「正方形は長方形に含まれる」や「正方形は長方形の仲間である」を表します．
「正方形は長方形に真に含まれる」を言うには，¬∀t（t∈R→t∈S）＝∃t（t∈R∧¬t∈S）が真である---これはS≠Rの根拠にもなります---ことも，押さえておく必要がありますが，t＝｛(0,0),(1,0),(1,2),(0,2)｝を挙げれば十分でしょう．
ここまで書いてきた論理式を，図形（t∈S，t∈R）に関するものと，図形の集合（S，R）に関するものとに，振り分けて整理しておきます．
- 図形に関する論理式：
- 正方形はみな形が同じ：∀t1∈S ∀t2∈S t1∽t2
- 長方形は形が異なる：∃t1∈R ∃t2∈R ¬（t1∽t2）
- 正方形は長方形である：t∈S→t∈R，∀t∈S R(t)
- 正方形は長方形に含まれる：∀t（t∈S→t∈R）
- 正方形は長方形に真に含まれる：∀t（t∈S→t∈R）∧∃t（t∈R∧¬t∈S）
- 集合に関する論理式：
- 正方形は長方形でない：S≠R
- 正方形は長方形に含まれる：S⊂R
これにより，「正方形は長方形である」を言うときの正方形は，個別の図形（t∈S）を指し，「正方形は長方形でない」と言うときの正方形は，集合（S）に関するものだと，あらためて確認することができます．
なお，この記事は，小学校の算数が「正方形は長方形でない」に基づいており「正方形は長方形である」と指導していないことの根拠づけを目指したものではありません．記号を多用した議論が，小学校はもちろん，教師向けの算数・数学の書籍に見当たらないので，自分なりに書いてみた次第です．あえてメリットを探るなら，「正方形はみな形が同じ」（長方形はそうとは限らない）が形式化できるという効果は，挙げてもいいのかもしれません．
長方形では，2つずつ，角が合うようにして，折り重ねると，長方形ができます．しかし正方形に対して同じ操作をしても，正方形にはなりません．紙を使って，簡単に実演できます．
正方形と長方形
これも，折り重ねることに対応する写像f:R→Rを導入することで，記述ができます．t＝｛(0,0),(a,0),(a,b),(0,b)｝∈Rに対して，f(t)＝｛(0,0),(a,0),(a,b/2),(0,b/2)｝とすると，f(t)∈Rです．しかし，s＝｛(0,0),(a,0),(a,a),(0,a)｝∈Sのとき，f(s)＝｛(0,0),(a,0),(a,a/2),(0,a/2)｝∈Rであり，f(s)はSの元とはなりません．
