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順序を問う問題

OoM

「さらが 5まい あります。1さらに りんごが 3こずつ のって います。りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう。」という出題と，「しき」と「こたえ」を書く欄からなる．(略)問題文では5が先，3が後に出現しているが，学習した「かけ算の意味」をもとに，2つの数をひっくり返して「3×5」と書かないといけない，というのが「かけ算の順序」の基本的な考え方である．

かけ算の順序論争について（日本語版）

　上記と類似した意図の出題事例を，かけ算に限定することなく，いくつか紹介していきます．

たし算（加法）

　「ケーキが　あります。その　うち　7こ　食べたので，のこりは　5こに　なりました。はじめは　何こ　ありましたか。」という文章題です．挿絵とテープ図もあります．テープ図には「のこりの 数 □こ」「食べた 数 □こ」とあり，2つの□にはおそらく子どもの字で，「5」「7」と書いています．
　しきは「7＋5＝12」，答えは「12こ」と，黒鉛筆で書かれています．答えには赤ペンで，マルがついています．式にはいったん，マルがついたものの，訂正の2本線と，「△ -5」が入っています．式を書く欄の右に，赤鉛筆で書かれた「5＋7＝12」と，赤ペンによるマルがあります．
この問題は，算数教育においては「逆思考」の問題と呼ばれます．「のこりは」とあるけれども，ひき算ではなく，たし算の式を書いて求めるのですよ，というものです．
　小学校学習指導要領解説 算数編にも，「はじめにリンゴが幾つかあって，その中から５個食べたら７個残った。はじめに幾つあったか」（p.96）という類題が記載されています．求める式は，「7＋5」です．
　個人的には，加法は増加よりも合併に基づくのが良いという立場のもと，式は7＋5＝12でも5＋7＝12でも差し支えないと考えます．

ひき算（減法）

　「たまいれをしました。あかは5こ，しろは9こ　はいりました。ちがいは　なんこですか。」が本時の問題です．
　授業は，課題の提示・めあての確認のあと，個人思考・全体交流・ペア思考の順で正解へと導いています．個人思考では，いきなり式にするのではなく，図に表すこと・視覚的にとらえさせることをすすめています．ペア思考の段階では，「なぜ，5−9＝4では，いけないのでしょう」という問いを与えています*1．
　小さい数を先に出現させて，違いを求める文章題は，2005年実施の計算力調査*2
にも載っています*3．ただしそこでは，式を答えさせていません．

かけ算（乗法）

　これまでいろいろな事例を取り上げてきましたので，リンクのみとします．

わり算（除法）

　平成22年度 全国学力・学習状況調査 小学校算数A[2](1)では「8mの重さが4kgの棒があります。この棒の1mの重さは何kgですか。求める式と答えを書きましょう」を出題しています．正解となる式は4÷8です．8÷4は誤答となり，「(整数)÷(整数) の除法では，被除数の方が除数より大きくなると考えている」という分析が書かれています*4．https://core.ac.uk/download/pdf/144253964.pdf#page=117からも誤答分析を読むことができます．
　文部科学省が平成29年（2017年）6月に，新たな学習指導要領（小学校は平成32年4月より適用）に基づく解説を公開しました．以下より，PDFファイルがダウンロードできます．

【算数編】小学校学習指導要領（平成29年告示）解説のp.147に「除法が用いられる場合として，ほかに，例えば，重さが4kgで長さが2mである棒の1mの重さを求める場合，2kgで400円のものの1kgの値段を求める場合」とあり，後者の場合は，400÷2＝200で求めることになります．
　海外では以下の論文より，状況を知ることができます．

  • Fischbein, E., Deri, M., Nello, M. S. and Marino, M. S.: "The Role of Implicit Models in Solving Verbal Problems in Multiplication and Division", Journal for Research in Mathematics Education, Vol.16, No.1, pp.3-17 (1985). http://www.jstor.org/stable/748969

　小数のかけ算・わり算（partitive＝等分除，quotative＝包含除）の文章題を26問用意し，A・Bの2セットに分けてイタリアの第5学年・第7学年・第9学年の生徒に解いてもらい，どのような誤答が生じやすいかを報告しています．
　かけ算の文章題の12問はいずれも，かけられる数が文章題において先に，かける数が後に出現します。それに対してわり算の文章題では，14問のうち半数を超える8問について，わる数が先，わられる数が後となっています．
　誤答率の最も高かったのはNo.17です．「12 friends together bought 5 kg of cookies. How much did each one get?〔12人の友達が共同で，5kgのクッキーを買った。1人につきどれだけもらえたか〕」で，これも，「わる数が先，わられる数が後」です．正解となる式は5÷12であり，12÷5も12×5も5×12も不正解です．
　以下の記事も合わせてご覧ください．

　令和3年度 全国学力・学習状況調査 小学校算数[1](5)では，「分速540mで走るバスが，2700mを進むのに何分間かかるかを求める式を書きましょう。ただし，計算の答えを書く必要はありません。」が，同じ調査（小学校算数）の[4](2)では，「8人に，4Lのジュースを等しく分けます。1人分は何Lですか。求める式と答えを書きましょう。」が出題されました。
　正答率は，[1](5)では85.2%，[4](2)（式と答えの両方とも正解）では55.7%でした。
　正解を得るには，問題文に出現する2つの数をひっくり返して，わり算の式にすればいい（式はそれぞれ，「2700÷540」と「4÷8」）のですが，正答率に違いが出たのは，「除法が（大きい数）÷（小さい数）であると捉えていた」場合には，式がそれぞれ「2700÷540」と「8÷4」になってしまうためです。
　以下の記事も合わせてご覧ください。

中学の数学

　平成26年度 全国学力・学習状況調査 中学校数学A[9]で，ある運送会社の書類の宅配サービスの料金表と，「1kgまでの書類の重量と料金について，｢重量を決めると，それにともなって料金がただ1つ決まる｣という関係があります。」を記載したのち，「[①]は[②]の関数である。」の[①][②]にそれぞれ当てはまる言葉を解答させています．
　正解は，[①]が料金，[②]が重量で，「料金は重量の関数である。」という文になります．
　逆は間違いです．「重量は料金の関数である」という文にしてみると，これは，「料金を決めると，それにともなって重量がただ1つ決まる」を意味しますが，料金表を参照した際，例えば150円という料金に対して，重量がただ1つ，決まるわけではありません．

　「平成23年度全国学力・学習状況調査」は，東日本大震災の影響等により，実施見送りとなりましたが，希望する学校等には配布され，出題や解説が公開されています．
　数学B[2]に，連続する自然数の和に関する穴埋め問題があります．「3n＋3を3(n＋1)と変形しています」と記した上で，「連続する3つの自然数n，n＋1，n＋2の和が，中央の自然数[①]の[②]倍であること。」の[①][②]に当てはまる文字式や数を解答させています．
正解は，[①]がn+1，[②]が3で，入れると「連続する3つの自然数n，n＋1，n＋2の和が，中央の自然数n+1の3倍であること。」となります．逆に書くのは不正解で，得られる文は省略します．

　平成31年度 全国学力・学習状況調査 中学校数学[9](1)も同様です．「連続する3つの奇数の和は，中央の奇数の3倍になる」という予想や，6n＋9＝3（2n＋3）の変形を含む説明が提示され，(1)は「連続する3つの奇数2n＋1，2n＋3，2n＋5の和が，中央の奇数を表す式である[①]の[②]倍であること。」の穴埋め問題です．なお問題の指示は「[①]に当てはまる式と，[②]に当てはまる数を書きなさい。」となっており，平成23年度のときと指示が少し異なります．[①]に3，[②]に2n＋3が誤答なのは，解答類型で確認することができます．

*1:イコールの右は4ではなくて−4だ，と主張する1年生はまずいないでしょうし，5−9＝−4という式にしてみても，これは9を基準（ゼロ）と見たとき，5は−4の位置に当たるのを意味し，「ちがい」を表した式と解釈するのは困難です．

*2:http://www.sokyoken.or.jp/kanjikeisan/keisan_h18.xhtmlはデッドリンクです．かわりに平成25年実施分がhttp://www.sokyoken.or.jp/kanjikeisan/keisan_h25.xhtmlより読めます．

*3:http://www.sokyoken.or.jp/kanjikeisan/pdf/keisan2013.pdf#page=2の「あかいいろのおはじきが7こあります。あおいいろのおはじきが9こあります。(2)なにいろのおはじきが，なんこおおいでしょう。」です．

*4:平成26年度算数A[4](2)では，1平方メートルあたりの人数を求める式を書かせていて，先に出現する8をわる数にして「16÷8」と書くのが正解，「8÷16」は不正解となります．