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式の意味：練習問題

OoM

それとともに，4項目を通して読むと，式の意味とは何かの答えが得られそうです．例えば，「式から読み取れる，具体的な事柄や関係」と書くことができます．
もちろん，「ぼくのかんがえたさいきょうのしきのいみ」ではよろしくなく，その式の意味が，先生だとか，クラスの他の子どもにも，うんそうだねと分かってもらえるよう，式や読みを表現する必要もあります．
さて，そうすると今度は，「読み取る」とは何か，算数でどのように指導されているかという問題意識になりますが，上の引用の直後に「式の読み方」と指導例が載っています．
「読み取る」のは，算数ではなく国語だという主張も可能でしょうが，ここはむしろ，算数的活動と，言語活動との連携といったところでしょうか．

式の意味，単位

これまで，当ブログで取り上げてきた中で，「式の意味」そして「式から読み取れる，具体的な事柄や関係」と密接に関係しそうな出題が3つ，思い浮かびましたので，整理することにします．

1. シュスター先生の授業

Chapter 1の最初に，乗法の交換法則の学習に関する，3年生の授業が載っています．その前文と，先生・児童らのやりとり(pp.3-4)の中に，かけ算の式("multiplication sentence")や意味("mean")が登場します．

The students in Mrs. Schuster's third-grade class are discussing a question she has set out for them to consider: "Does the order of the numbers in a multiplication sentence affect the answer? Explain why or why not." In order to explore this question, they are generating examples of multiplication sentences and testing what happens when they change the order of the factors. Students know many of the basic multiplication facts but have not yet learned an algorithm for multidigit multiplication.
One student has made a conjecture that the order of the factors does not make a differencethe --- "the answer is the same no matter which number goes first." Students are agreeing with this conjecture by bringing up other examples that work, such as 3 x 4 = 12 and 4 x 3 = 12. Mrs. Schuster then asks if this conjecture works with larger numbers and suggests they use calculators to check. Students are able to generate many examples to verify the conjecture, but explaining why the products are the same is not as straightforward as carrying out the multiplication.

1. Eddie: Well, I don't think it matters what order the numbers are in. You still get the same answer. But the multiplication sentences are different because they mean different things.
2. Mrs. S: OK, Rebecca, do you agree or disagree with what Eddie is saying?
3. Rebecca: Well, I agree that it doesn't matter which number is first, because two times five equals ten and that's the same answer as five times two. But I don't get what Eddie means about the multiplication meaning different things.
4. Mrs. S: Eddie, would you explain what you mean?
5. Eddie: Well, I just think that the two times five that Rebecca used can mean two groups of five things like two bags of five apples. And five times two means five bags of two apples. Those aren't the same at all.
6. Tiffany: [Hand up, waving] But you still have the same number of apples! So they do mean the same!
7. Mrs. S: OK, so we have two different ideas here to talk about. Eddie says that order does matter, because five times two and two times five can each be used to describe a different situation, like two bags of five apples or five bags of two apples. So the two number sentences mean different things. And Tiffany, are you saying that those two number sentences can't be used to describe two different situations?
8. Tiffany: No, I mean that even though the two situations are different, the answer is the same.
9. Mrs. S: OK, so you're saying that order doesn't matter because the answer is the same?
10. Tiffany: Right.
11. Mrs. S: OK. We need to think about this. In Eddie's statement, order makes a difference in the situation you're describing. In Tiffany's statement, order doesn't make a difference in the answer we get. So when does order make a difference in multiplying two numbers together?

全文和訳を作るのは大変だとしても，強調表示した3箇所をきっちりと和訳すれば，要所は見えてくるかと思います．
なお，最後の強調（"And Tiffany"から始まる疑問文）については，教師がそう問いかけることによる，授業における効果も，見ておく必要があります．以前にも書きましたが，「かけ算の交換法則を学習したら，□×△でも△×□でもいいのだ」は，教師のねらい*1でも，クラスで共有したい事項でもないということです．全体としては，『小学校学習指導要領解説 算数編』に書かれている「「乗数と被乗数を交換しても積は同じになる」という計算の性質」は，米国の，NCTM Standardをもとにした授業でも学習可能だとなります．

2. キャンディを持つ子どもたち

  • Anghileri, J. and Johnson, D.C. (1988). Arithmetic Operations on Whole Numbers: Multiplication and Division. In Post, T.R. (Ed.), Teaching Mathematics in Grades K-8, Longman Higher Education, Allyn and Bacon, pp.146-189. asin:0205110762

本に書かれている練習問題は，以下の通り(p.158)，いわゆる作問法です．ただし出題にあたって，かけられる数・かける数が交換された2つの式を，同時に提示しています．

Exercises
1. Give some real-life examples of situations in which a multiplication product a×b (for example, 5×6) is not the same as b×a (6×5).
（練習問題．1. a×bとb×a（例えば，5×6と6×5）が同じでないような，日常生活の例を挙げなさい．）

さかのぼると，かけ算の式を使わない，著者と読者で違いを共有するための例が載っています(p.157)．

For children, three lots of four and four lots of three are fundamentally different. They think in concrete terms---three children each having four candies are luckier than four children each having three candies although the total number of candies is the same.
（子どもたちにとって，「4が3つ」と「3が4つ」は基本的に別物である．具体物で考えると---4つずつキャンディを持っている3人の子どもは，3つずつキャンディを持っている4人の子どもよりも，運がいい．キャンディの総数は同じなのだけれども．）

その直前に，"3×4"の式について言及があります．

When considering how the symbolic expression 3×4 is interpreted by adults and children, we find the most common expressions are "3 multiplied by 4," "3 times 4," and "3 fours." Some people will use the expressions quite interchangeably on the understanding that all three are equivalent; in the domain of mathematics this may be acceptable but in real life there is an important distinction between these different interpretations. On one hand "3 times 4" and "3 fours" usually relate to three sets of four objects and are consistent with "3 lots of 4."
（大人と子どもが，3×4という式をどのように解釈するのかを考えると，「3に4をかける」「3倍の4」「3つの4」が得られる．これら3つの言い方を同じものとして理解し，どれを使っても変わりがないように，3×4という式を使う人もいる．数学的には，その扱いでよいのだろうが，日常生活においては，これらの解釈には大きな違いがある．「3倍の4」と「3つの4」は普通，4つのモノからなる集合が3つある状態に関連づけられ，「4が3つ」に対応する．）

meanの語は見当たらないものの，"interpreted"を含む強調部から，「3×4という式の意味は何か?」を検討しているのだというのが分かります．
ただし，注意することがあります．それは，"all three are equivalent"と"there is an important distinction between these different interpretations"の対比です．"3 multiplied by 4"と"3 times 4"と"3 fours"の3つを例示していますが，ここは，"3 multiplied by 4"を一つの見方，"3 times 4"と"3 fours"をもう一つの見方とし，"3 multiplied by 4"はこれ以降対象外とする，と読めば，文章全体がよく理解できます．実際，原文目で追った限り，"multiplied by"の書き方は現れません．
なぜこれを排除しているのかというと，2つの見方の間で，かけられる数とかける数の意味が逆になり得るのを，著者らが認識していたからでしょうか．実際，"3 multiplied by 4"を直訳すると，「4を乗じられた3」となり，3がかけられる数，4がかける数に，それぞれ対応づけられます*2．それに対し"3 fours"は「3つの4」ですので，この場合，3がかける数，4がかけられる数です*3．
"3 multiplied by 4"を持ち出したのは，一応こうも考えられる，という著者らの表出であるように思われます．加えて，"Some people (略) equivalent"の箇所は，著者らはそれに与しない（そう考える人々がいるのは理解するが），といったところでしょうか．
そうしてmultiplied byを除外し，「3×4」「3 times 4」「3 fours」「3 lots of 4」を同等のものとすれば，ここで，3×4というかけ算の式の「意味づけ」が完成します．かけられる数とかける数を他の値にすれば，それによって異なる意味が与えられ，「4つずつキャンディを持っている3人の子どもは，3つずつキャンディを持っている4人の子どもよりも，運がいい．キャンディの総数は同じなのだけれども」はその帰結となります．

3. 「8は あと 2で 10です。」

最後に取り上げたい例は，日本の算数で，かけ算も順序も出てきません．

思考力・表現力を評価する算数テスト集

思考力・表現力を評価する算数テスト集

問題文は次のとおりです(p.38)．

[2] よういちさんは 8＋7の けいさんを したのように しようと して います。

8は あと 2で 10です。

よういちさんの かんがえを あらわしている ず を したから えらび、したの □に かきましょう。
（図省略）
[3] [2]の もんだいで えらんだ ずの かんがえを したの ぶんに つづけて かきましょう。

アイウのどれを選べばいいかというと，イとなります．「2」が読み取れる図は，イしかありません．
8＋7を計算すればいいのに，なぜ「2」が出てくるのかというと，繰り上がりのあるたし算において，「10をつくる」ためです．さくらんぼの絵こそ出てきませんが，よういちさんの考え，そして[3]で書かせるのは，さくらんぼ計算と同じことです．その計算法の是非や，背景にある算数教育については，本記事では扱いません．
[3]について，1年生で（大人も?!）すらすらと答えを書けるとは思えません．この問題は，子どもたちの記述力・表現力の向上を狙ったものです．本のサブタイトル「『B問題』に強くなる」は，小学校なら6年生が対象の全国学力テストを連想します．
「筋道を立てて答えを求めること」は，従来からの算数・数学です．近年のPISA型テストや，全国学力テストのB問題ではよく「他の人の発言*4の断片から，その意図を説明できること」を問う出題を目にします．そういった出題は，日常生活を模した文章題だけでなく，計算問題においても可能だというのを，上の事例は教えてくれます．
式の意味は，出題において明示されていませんが，そこはアレンジ次第です．というのもまず，アとウについて，その図をもとにすると，どのようなプロセスを経て，15という和が得られるかを書いてみます（子どもたちに書かせます）．それらを[3]の答えと比較すれば，それぞれの「式の意味」を対比できるわけです．
なお，イには加数分解（8＋7＝8＋（2＋5）＝…＝15），アには被加数分解（8＋7＝（5＋3）＋7＝…＝15）という用語も知られています．ウに関する名称は不明ですが，両方から5を取ってきて足す（8＋7＝（3＋5）＋（5＋2）＝…＝15）という方略は，他書でも見たことがあります．

これまで書いたこと

*1:それどころか，「どっちでもいいのだ」と主張する子どもが出たときに「本当にそれでいいの?」と尋ねようと，先生のほうで用意をしていた可能性も考えられます．もしそうだとすると，文中の"can't"は強調して発言することになります．この語は，原文では斜体字になっています．助動詞の効果は，以前にhttp://d.hatena.ne.jp/takehikom/20130219/1361220251#6で取り上げてきました．

*2:関連：http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20130217/1361035213#%E4%B8%AD%E5%B3%B61968b

*3:"3 times 4"は，"3 multiplied by 4"の意味にも"3 lots of 4"の意味にも利用されてきた，と個人的には推測しています．

*4:本記事で最初に引用した中で，Eddieの発言を受け，Mrs. S（シュスター先生）がRebeccaに振って賛否を尋ねています．クラスではそのように「振る」ことが当然のように行われている，と見るべきでしょう．