年を秒に，秒を年に

　いきなりですが問題です．

　1年は，何秒ですか．求める式と答えを書きなさい．

　さっそくですが解答です．

　うるう年の場合とうるう年でない場合に分けて考える．
　i) うるう年の場合，年，日，時間，分，および秒の関係式は以下のとおりとなる．
　　1年＝366日
　　1日＝24時間
　　1時間＝60分
　　1分＝60秒
　これらの式において，「年」「日」「時間」「分」をそれぞれ文字とみなす（1年＝年であり，他の文字についても同様とする）．すると以下のようにして，1年が1秒の何倍か，すなわち1年は何秒であるかが求められる．
　　1年＝366・24時間＝366・24・60分＝366・24・60・60秒＝31622400秒
　ii) うるう年でない場合は，うるう年の場合の「1年＝366日」を「1年＝365日」に変更する．1年を秒で表すための式は以下のとおりとなる．
　　1年＝365・24時間＝365・24・60分＝365・24・60・60秒＝31536000秒

　日本語を（文字式における）文字として使用するのが，なじみでなければ，y=366d，d=24h，h＝60m，m＝60sとおくことでも，同様に求められます．
　もし，小学校の算数の求め方でとなると，こういった文字の使用も，場合分けも，不自然です．1年は何日かを後回しにして，まず，1分は60秒，1時間は60×60で3600秒，1日は3600×24で86400秒を求めておきます．
　次に1年は365日か，366日にするか，それとも...については，wikipedia:ユリウス年に書かれた「正確に365.25日」を採用します．きちんと書くと，「1年は365.25日」です．
　あとは，86400×365.25を，筆算か電卓で求めることで，1年は31557600秒であると，算出できます．
　それぞれの「×」の左側（かけられる数）は，1つ分の大きさの秒数を表していて，積も秒数，「×」の右側（かける数）はそれらと異なる数量であり，かける際にこれは，何倍かを表す無次元量となります．総合式にすることもでき，60×60×24×365.25＝31557600と表せます．
　続いてですが問題です．
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　スライド下部に書いた出典は，Kindle版がおすすめです．

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　出題の詳細や，環境がいかに非現実的であるかについては，512ビット鍵特定と三千世界をご覧ください．
　授業では，少し，学生に考える時間をとったのち，解答を表示させています．
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　探索鍵数の式に，単位を付けると，次のようになります．「計算機1台で毎秒 $10^{20}$ 個の鍵を生成し正誤判定できる」は， $10^{20}$ ［個/台・秒］という，複内包量で表しています．

$10^{20}$ ［個/台・秒］×（366［日/年］×24［時/日］×60［分/時］×60［秒/分］）× $10^{100}$ ［台］× $10^{20}$ ［年］

　この式について，「10の何乗か」と「10の何乗か以外の数」と「単位」に分けて計算すると，順に $10^{140}$ と31622400と［個］を得ます．31622400は，1億＝ $10^{8}$ よりも小さいので，「 ${}<10^{148}$ 」を最後に付け，512ビットの鍵の総数（を10の何乗の形で概算した値）と比較できるようにしています．
　スライドの式のうち「366×24×60×60」は，小学校での求め方と同じように「60×60×24×366」を用いても，間違いというわけではありません．なお，単位を付けた式の中の「366［日/年］×24［時/日］×60［分/時］×60［秒/分］」について，因数はいずれも内包量で，その積もまた内包量となるというのは，小学校で学習する範囲を超えていますが，Schwarz (1988)の「I×I'＝I''」*1で説明がつきます．積は31622400［秒/年］と表現でき， $10^{20}$ ［個/台・秒］×31622400［秒/年］について，単位は［個/台・年］に変わります．計算機1台で毎年約3× $10^{27}$ 個*2の鍵を生成し正誤判定できる，と解釈できます．*3
　『暗号技術入門』p.77の問題文では，上と同じ「ナンセンスなまでに過大に見積もって」いる仮定のもとで，「鍵空間全部をブルート・フォース・アタックで調べられないようにするためには，鍵のビット長は何ビットあればよいでしょうか」と出題して「(A) 512ビットあれば十分である」から「(E) 100万ビットでも足りない」まで，5つの選択肢を提示しています．そしてp.79の解答・解説は以下のとおりとなっています．