4つの8のパズル

　いきなりですが問題です．

　「8」の数を4つ使って，加減乗除をし，答えを求めます．
　例えば，8÷8＋8÷8＝2です．ここで「8÷8＋8÷8」を，「2になる式」と呼びます．
　5になる式，6になる式，7になる式を，作ってください．

　解答の前に，補足です．数を連接させて，「88」「888」「8888」といった数にするのは禁止とします．カッコはOKとします．「8÷8＋8÷8」も「（8÷8）＋（8÷8）」も，2になる式ですが，「（（8÷8）＋8）÷8」は，「1.125（または8分の9）になる式」です．カッコの入れ子も差し支えなく，｛｝や［］は使用しないこととします．
　といったところで解答です．0から10までの各整数について，その値になる式の数と，具体的な式を1つずつ，示します．

0 ... 44通り
    （（８＋８）－８）－８
1 ... 32通り
    （（８＋８）－８）÷８
2 ... 1通り
    （８÷８）＋（８÷８）
3 ... 2通り
    （（８＋８）＋８）÷８
4 ... 4通り
    （８×８）÷（８＋８）
5 ... なし
6 ... 1通り
    ８－（（８＋８）÷８）
7 ... 1通り
    （（８×８）－８）÷８
8 ... 9通り
    （（８－８）×８）＋８
9 ... 2通り
    （（８×８）＋８）÷８
10 ... 2通り
    （（８＋８）÷８）＋８

　5になる式はなく，6になる式，7になる式（と2になる式）は，それぞれ1通りだけでした．なお，2になる式の2組のカッコと，6になる式の外側，7になる式の内側のカッコは，除去しても結果が変わらず，異なる式と見なせます．しかしプログラムを書いてみると，このカッコの除去処理は容易ではなく，今回の出力では，いずれの式にもカッコを2つ入れ，演算子の適用の順序を明確にしました．
　総当たりで式を求めて出力するプログラムをRubyで作成し，Gistに置きました．
　「総当たり」の方針として，まず「『8』の数を4つ使った，加減乗除の式」として，次の形を考えます．

8 o1 8 o2 8 o3 8

　ここでo1, o2, o3は「＋－×÷」のいずれかです．
　そしてo1, o2, o3の2項演算を，どの順番で適用するかによって，式が決まるというわけです．例えばo1に「÷」，o2に「＋」，o3に「÷」を割り当てて，o1, o2, o3の順に演算を行うのなら，式は「（（8÷8）＋8）÷8」です．o1からo3までの割り当ては同じでも，o1, o3, o2の順にしたら，式は「（8÷8）＋（8÷8）」になって答えも異なります．
　場合の数は，o1からo3までの割り当ては4の3乗で64通り，そして適用順は，3つの演算子の組み合わせだから3の階乗で6通り…とするわけにいきません．今回の式では，「o1, o3, o2の順」と「o3, o1, o2の順」は，同じ式になります（o1が「÷」，o2が「＋」，o3が「÷」で，o3, o1, o2の順のときにも，式は「（8÷8）＋（8÷8）」です）．それらは「式」として同一なので，別カウントにしないこととし，結局，適用順は5通りとなります．総数は64×5＝320通りです．
　式によっては分数や負の数のほか，0除算が発生することがあります（例えば「（８＋８）÷（８－８）」）．プログラムではこれも式として認め，内部で評価結果をnilにし，出力時にはNot a Numberを意味する「NaN」にしています．NaNになるのは15通りです．また最大の値は4096，最小の値は-504，分数になる中で最大と最小はとです*1．

（同日追記）本文およびGistのプログラムコードを更新しました．5通りの適用順を忠実にプログラムコードにすると，以下のようになり，o1, o2, o3の出現順序はさまざまですが，4つの8に対応する，v1, v2, v3, v4はどれもこの順に出現しているのは，面白いところです．

  def eval(v1, v2, v3, v4, o1, o2, o3, d = 0)
    case d
    when 0
      # d == 0: ((8 o1 8) o2 8) o3 8
      v = op(o3, op(o2, op(o1, v1, v2), v3), v4)
    when 1
      # d == 1: (8 o1 8) o2 (8 o3 8)
      v = op(o2, op(o1, v1, v2), op(o3, v3, v4))
    when 2
      # d == 2: (8 o1 (8 o2 8)) o3 8
      v = op(o3, op(o1, v1, op(o2, v2, v3)), v4)
    when 3
      # d == 3: 8 o1 ((8 o2 8) o3 8)
      v = op(o1, v1, op(o3, op(o2, v2, v3), v4))
    when 4
      # d == 4: 8 o1 (8 o2 (8 o3 8))
      v = op(o1, v1, op(o2, v2, op(o3, v3, v4)))

*1:「8分の1プラスマイナス8」です．