いくつかの問題と立式と根拠の組み合わせについて，図を作ってみました．
図をお見せする前に，いくつか準備を．高さ2の木構造で表現します．最上段でオレンジ色に塗りつぶしたのが「問題」，中段の，青い楕円で囲まれているのが「立式」，最下段の，緑の角丸長方形の中に書かれているのが「根拠」です．問題に対して立式はもっとありますし，立式に対して根拠はもっとありますが，図の大きさの都合で，代表的なもののみを挙げています．
かけ算で式を立てていますが，いずれの問題についても，「３＋３＋３＋３＋３＝１５」という，累加の式については，今回の議論から外しています*1．
根拠は必ずしも正誤判定の対象とされないこと，そもそもどれが正解でどれが不正解かは，問題文のみから一意に定められないことに注意し，どんな答案や考え方（の結びつき）が「正しい」ではなく「あり得る」のかについて，ご覧いただけると幸いです．
《問い》
「ひねくれ」とは，
「dの求め方で「５×３＝１５」と書きたくなるところだけど，これは引っかけ問題だと認識して，（「１つ分の大きさ」「いくつ分」の当てはめをすることなく）「３×５＝１５」と書く」
分かりやすく抽象的に・2010年11月バージョン
のことです．
立式と根拠を結ぶ線が細かったり太かったりしますが，太い線は，その組み合わせになる可能性が高いことを示します．別の言い方をすると，この問題文に対して，「５×３＝１５」を書いた児童の中で，「５と３を取り出してかけ算」した可能性が最も高く，トランプ配りは非常に低い*2となります．証明はできていませんので，個人的にいろいろな情報を見てきた経験に基づく「仮説」とお考えください．
なお，線の太い細いは，定式化できます．具体的には，「立式が与えられたときに，それはどのような根拠で書かれたのか」を条件付き確率で表せそうです．とはいえ，それぞれの確率は不明ですし，pやらqやらといった文字で表すと，それぞれの可能性がフラットに見えてしまいそうです．なので，「できそう」にとどめておきたいと思います．
アレイ図
問題については，机のかけ算で検討済みです．
この問題に対しては，4つのいずれの根拠もあり得て，2つの立式はともに正解となることを期待します．
ですがこのことをもって，最初の図の《問い》で「５×３＝１５」を正解とするわけにはいかないとも考えます．アレイ図の問題文には，数量を書いていませんが，最初の問題文には「５まい」「３こずつ」といった単位付きの数量が書かれているからです．この数量情報は，式を立てたあと，問題文の状況に合っているかのチェックに（そして採点や，答案返却後の先生の解説にも）使われます．
別の言い方をするなら，最初の《問い》からこのアレイ図に変換することはでき，そのアレイ図をもとに「５×３＝１５」として丸の数を計算できるけれども，この立式を最初の《問い》にそのまま戻して正当性を主張することはできない，ということです．
前者と後二者の違い
2番目と3番目の図では，「総数が図から読み取れる」という共通点が指摘できます．
もちろん冒頭の《問い》では読み取れません．なので，かけ算の順序とは別に，「５＋３＝８」という足し算にしてはいけませんよという意図も，想像できます．
アレイ図で総数を数える問題を，図なしで表現できるでしょうか．例えば，「つくえを たてに ５つ、よこに ３つ ならべました。つくえは ぜんぶで いくつ あるでしょう。」とすると，
□□□ □□□ □□□ □□□ □□□
という解釈だけでなく，
□□□ □ □ □ □
や
□ □ □ □ □ □□□
といった解釈も，できてしまいそうです．
