文献からの続きです．
1. 比と比例と複比例
[中西2001,p.19]には，合率比例すなわち複比例の関係式として，「a:b＝c:d，e:f＝g:h，i:j＝k:lならば，aei:bfj＝cgk:dhl」が書かれています．もちろん，逆は真ならずです．「aei:bfj＝cgk:dhlならば，a:b＝c:d，e:f＝g:h，i:j＝k:l」が一般に成り立たないことを示すには，aとkに2，その他に1を割り当てるのが簡便でしょうか．
さてこの，12個の文字を用いた命題は，枠囲みになっています．著者による解説と思われます．明治期の教科書には，例題と解き方は書かれているものの，その原理までは書かれていないのかな，とも推測します．
同文献p.25では，［参考文献・引用文献］の(1)として，「本稿では，比例を比(a:b)・比例式(a:b=c:d)・比例の式(y=ax)などを含んだ形で考えている。」ともあります．ここで，本当にそれらを一括して考えることができるのか，また複比例の場合はどうなるのかについて，式を作ってみることにします．
いろいろ試したところ，「比の値」，すなわち「a:b＝a÷b」を仮定すれば*1，比例式から比例の式，およびその逆，独立した複数の比例式から複比例の式，およびその逆，が得られそうです．あともう一つ，これは「比の値」を用いることによる制約があって，文字のとる範囲は正の数とします．すなわち0は除外します．
「比例式から，比例の式」を得るには，まずa:b＝c:dが成り立っているものとします．そこで，この比の値をαとおきます．式で表すと，a÷b＝c÷d＝αです．そうするとy＝αxは，(x,y)＝(b,a)，(x,y)＝(d,c)のときにも成り立ちます．このy＝αxが，比例式から得られる比例の式となります．
「比例の式から，比例式」は，ほぼ逆の流れです．y＝αxという等式から出発します．そして，a＝αb，c＝αdが成り立つとき，a÷b＝a:b＝α，c÷d＝c:d＝αですので，a:b＝c:dが言えます．
複比例に関しては，最も簡単な，「yはx1とx2に（独立に）比例する」を論証することにします．3つ以上に増えても，プロセスは同様です．反比例の入った複比例については，例えばa:b＝c:d（a÷b＝c÷d，商一定）のところを，a×b＝c×d（積一定*2）に置き換えればよさそうです．
さて，「独立した複数の比例式から，複比例の式」は，こうなります．まずa:b＝c:d，e:f＝g:hが成り立っているものとします．そこでa÷b＝c÷d＝α，e÷f＝g÷h＝βとおくと，y＝αβx1x2は，(x1,x2,y)＝(b,f,ae)，(x1,x2,y)＝(d,h,cg)のときに成り立ちます．実際，αβbf＝(αb)(βf)＝ae，αβdh＝(αd)(βh)＝cgです．そしてαβ＝ωとおくと，y＝ωx1x2を得ます．これが，複比例の式です．
最後に，「複比例の式から，独立した複数の比例式から」は，やはり逆の流れです．y＝ωx1x2という等式から出発します．a＝αb，e＝βfが成り立つとき，αβbf＝(αb)(βf)＝aeです．そこでω＝αβとおくと，(x1,x2,y)＝(b,f,ae)のとき等式y＝ωx1x2を満たします．他の4字組c,d,g,hに対して，c＝αd，g＝βhが成り立つとき，αβdh＝(αd)(βh)＝cgであり，(x1,x2,y)＝(d,h,cg)のときもy＝ωx1x2を満たすわけです．このとき，a:b＝c:d＝α，e:f＝g:h＝βとなり，「＝α」，「＝β」を取り除けば，2つの比例式が得られます．なお，「独立した」は，c,d,g,hを持ってくることではなく，「a＝αb，e＝βf」が根拠となります．
2. 複比例と異なるもの
何が「複比例ではない」かについて，2つ，挙げることにします．
まず，連比（a:b:c＝d:e:f）は，複比例と別物です．連比は，「3つ（以上）の数量の関係」であり，「独立した複数の関係」ではありません．
連比で連想するのは，『頭の体操』の問題です．3匹のネコが3匹のネズミを捕まえるのに3分かかる，では100匹のネコが100匹のネズミを捕まえるのに何分かかるか，でしたっけ．3:3:3＝100:100:100と考えて100分，と言いたいところですが，正解は3分．時間はネズミの数に比例し，ネコの数に反比例するというのを，暗黙の仮定としていたと思います．まあ細かいことを言うと，1匹のネコが1匹のネズミを捕まえるのに要する時間は，何らかの確率分布に従うんじゃないかとか，あるネコが1匹のネズミを捕まえたら，ただちに別のネズミを捕まえに行くのかなんてことも，気にはなるのですが．
もう一つ，「積の乗法」と複比例も，分けて考えたいところです．もう少し細分化します．
- 積の乗法ならば，複比例か?
- 複比例ならば，積の乗法か?
前者の是非については，保留することにします．後者は，先日の文献の中から，反例を見つけることができます．[Vergnaud 1983]に入っている，シリアルの消費量の話で，訳すと「あるスカウトキャンプでのシリアルの消費量は，人数と日数に比例する」のことです．人数と日数をかけ合わせれば，消費量になる…とするわけにはいきません．かけ合わせたものすなわち人日が，シリアルの消費量に比例しているのです．その比例定数は，「1人が1日に消費するシリアルの量」です．
「1人が1日に」と書くと，複内包量のようにも見えてきます．最近見かけたものではhttp://togetter.com/li/234200，また当雑記では複内包量を持つ，乗法の結合法則が関連しそうです．何が「積の乗法」になるのかには，揺らぎがあることを，先月，整理していました．
「倍の乗法」のみで，複比例の関係を見出そうとするなら，周波数逓倍器でしょうか．昔むかし，アマチュア無線の講習を受けたときに，基本周波数に，2逓倍や3逓倍を適用して，期待する周波数を得るというブロック図を見たことがあります．それを使うと，f2＝n・m・f1のように表せます．ここでf1は基本周波数，f2は得られる周波数，nとmは逓倍の倍率です．f1を定数とみると，f2はnとmに対して複比例です．2逓倍してから3逓倍するのと，その逆とで，電力や精度で何か違いがあったら嫌だなあ…．
3. 文章題を複比例で
倍の乗法も，複比例の関係になり得ることに着目し，これまで検討してきた，2年生向けの文章題を，複比例の関係で表してから，解いてみることにします．
まずは2011年12月27日（式を読み取る練習）から．
→タイヤの総数yは，自動車の台数x1と，自動車1台当たりのタイヤの数x2にそれぞれ比例します．すなわち，x1を固定すれば，x2が2倍，3倍…になると，yも2倍，3倍…になります．逆にx2を固定すれば，x1が2倍，3倍…になると，y2も2倍，3倍…になります．x1＝1，x2＝1は「自動車1台だけで，1台当たりタイヤが1個」という状況をあらわし，総数は，y＝1です．この1が比例定数となり，y＝x1x2です．x1＝5，x2＝4を代入すると，5×4＝20で，答えは20個です．
「8人に ペンを あげます。1人に 6本ずつ あげるには，ぜんぶで 何本 いるでしょうか。」
→必要なペンの数yは，配る人数x1と，1人に配るペンの数x2に比例します．x1＝1，x2＝1は，「1人に1本を配る」という状況をあらわし，総数は，y＝1です．この1が比例定数となり，y＝x1x2です．x1＝8，x2＝6を代入すると，8×6＝48で，答えは48本です．
「子供が5人います。お菓子を2個ずつ配ると、お菓子は全部で何個になりますか？」
→お菓子の総数yは，子供の数x1と，1人に配るお菓子の数x2に比例します．x1＝1，x2＝1は，「1人に1個を配る」という状況をあらわし，総数は，y＝1です．この1が比例定数となり，y＝x1x2です．x1＝5，x2＝2を代入すると，5×2＝10で，答えは10個です．
それから，遠山啓が書いたものにも，試してみます．
これが，もし，つぎのような問題だったら，どうだろう．「教室の机は1列に6つずつ4列ならんでいます．机はみんなでいくつありますか」という問題では，4×6でも，6×4でもいいとせざるをえないだろう．
（『遠山啓著作集数学教育論シリーズ 5 量とはなにか 1 (1978年)』p.116．倍指向，積指向より孫引き）
→机の総数yは，列の数x1と，1列に並べる机の数x2に比例します．x1＝1，x2＝1のとき，y＝1で，これが比例定数となって，y＝x1x2です．x1＝6，x2＝4を代入すると，6×4＝24で，答えは24個です．
「6人のこどもに，1人4こずつみかんをあたえたい。みかんはいくつあればよいでしょうか」
→みかんの総数yは，こどもの数x1と，1人にあたえるみかんの数x2に比例します．x1＝1，x2＝1は，「1人に1個をあたえる」という状況をあらわし，総数は，y＝1です．この1が比例定数となり，y＝x1x2です．x1＝6，x2＝4を代入すると，6×4＝24で，答えは24個です．
4. なぜ複比例は，小学校の算数で活用されないか
複比例への所感については，以前に書いています．
（時速）X（時間）の話は，「複比例」として考えることができます．
割り算のときにどちらを除数にしてもよいのはどうしてか
「道のりは，時速を固定すれば，時間に比例する」「道のりは，時間を固定すれば，時速に比例する」となります．後者を「道のり＝比例定数 X 時速」で表し，これに単位を合わせてみると，km＝km/(km/h) X km/hとできる，という次第です．
複比例を通じた乗法の意味理解は，1968年に書かれた（同一著者による2つの）論説で，提案されています．しかしそれを引き継いで，より深く研究，実践したという話は聞きません．6年生に比例を教えるのでも大変なのに，複比例なんてとても，という意識なのかなと想像します．
長方形のイメージも，あります．
このことは，大人モードで，座標を使って，表すことができます．まず4点，O(0,0)，A(a,0)，B(a,b)，C(0,b)をとります．a,b＞0とします．このとき明らかに，四角形OABCは長方形（正方形を含む）です．aとbが，正の範囲で任意に動いても，長方形（同）であることには変わりません．
正方形と長方形
連続的または離散的に，マウス操作で座標もしくは数量を動かし，かけ算の式そして積がリアルタイムで表示されるアプリケーションは，HTML，CSS，JavaScriptを駆使すれば，できそうなのですが．
複比例に，話を戻します．先ほどの文章題に対する，"think aloud"による解き方から確認できるように，与えられた場面に対して，複比例だと認識あるいは確信するのが，容易でないのです．
2年生では，「複比例」どころか「比例」さえも出てきません．そこで議論を打ち切るのも悲しいので，代わりの「乗法の性質」を持ってくることにします．それは，「乗数が1増えれば積は被乗数分だけ増えること」です．
「被乗数と乗数の区別」を調査
- p.87: 「乗法に関して乗数が1増えれば積は被乗数分だけ増えるという性質」．これと交換法則を使えば，「被乗数が1増えれば積は乗数分だけ増えるという性質」も言えるが，それは指導の対象外（解説書，問題集からも見かけなかった）．
みかんの問題で確かめます．「6人のこどもに，1人4こずつみかんをあたえたい。みかんはいくつあればよいでしょうか」に対する（学校教育での正解とされる）式は，4×6＝24です．これを基準として，4×7＝28＝4×6＋4で，「7人のこどもに，1人4こずつみかんをあたえたい」なら，「しひちにじゅうはち」でもいいし，すでに「6人のこどもに，1人4こずつのみかん」で計算をしたなら，そこに追加の1人分，すなわち4こを加えればいいだろう，となります．
5×6＝30＝4×6＋6という式も，成り立ちます．これは，「6人のこどもに，1人5こずつみかんをあたえたい」であり，九九なら「ごろくさんじゅう」，そして付け足しのアプローチだと，「6人のこどもに，1人4こずつのみかん」で計算をしたあとで，そこに「1人1こずつ」を追加すればいいとなります．加数の6が「6人」ではなく「6こ」を意味するのは，トランプ配りが教えてくれるところです．
代数的に見ても，複比例の式y＝ωx1x2において，ω＝1のとき，すなわちy＝x1x2のときは，x1が1増えればyはx2だけ増えますし，x2が1増えればyはx1だけ増えます．
といったところで，まとめに入りたいと思います．学習指導要領などから知ることのできる，現在の指導内容では
- 比例（比や反比例を含む）を，第6学年の数量関係に置いているため，小学校で複比例を直接的に扱うのは困難です．
- 第2学年で学ぶ，乗法の性質に「乗数が1増えれば積は被乗数分だけ増える」があり，「被乗数が1増えれば積は乗数分だけ増える」のないことが，乗法の意味理解において被乗数と乗数の区別をする理由（状況証拠）の一つとなっています．
それぞれ，対策も思いつきます．複比例や，「被乗数が1増えれば積は乗数分だけ増える」に関する出題例，指導例を充実させることです．そうしていく中で，それらを児童が理解し習熟する意義が，教育関係者に周知されれば，次回の学習指導要領改訂時に，取り入れられるかもしれません．
と，提案してみるものの，私自身はそのようになることは，「かけ算の式には順序がないこと」が学校教育で受け入れられることと同程度に，起こり得ないなあと考えています．先日取り上げた文献に限らず，読んできた書籍や論文，またいくらかのWebでの情報をもとにした印象です．
（最終更新日時：Wed Apr 25 06:08:49 2012ごろ）
*1:「比の値」「a:b＝a÷b」は，「比」の解説がある小学校学習指導要領解説 算数編《算数解説》pp.205-206に見られず，小学校では取り扱わないようです．『算数教育指導用語辞典』p.254でも，比の値は，“発展”として記されています．
*2:a:1/b＝c:1/dとも書けます．
