いきなりですが問題です．
求める式と答えを書きましょう．
(1) 1時間は，60分です．2時間は，何分ですか．
(2) 240分は，何時間ですか．
さっそくですが解答です．(1)は，1時間＝60分が2つということで，60×2＝120 答え120分です．(2)は，240÷60＝4 答え4時間です．
さらにですが問題です．
(3) 48分は，何時間ですか．
(4) 0.4時間は，何分ですか．
分を60でわれば，時間になるのですから，(3)は，48÷60＝0.8 答え0.8時間となります．
時間を分にするのは，その逆演算とみて，60をかけるとしましょう．そうすると，(4)は，0.4×60＝24 答え24分です．
こうして並べたときに，(2)と(3)はともに「60でわる」によって答えを求めていますが，(1)では60がかけられる数，(4)ではかける数となっています．
このような式の多様さは，Vergnaud (1983, 1988)の知見をもとにすると，理解しやすくなります．(1)の式は，1時間（60分）の2倍です．たし算（累加）で60＋60＝120と求めることもでき，これもまた，60×2の根拠となります．
それに対し，(4)のかけ算の式「0.4×60＝24」では，「時間」の量空間をイメージすることからはじめます．「何時間」で表される数量すべてからなる集合です．次に，「分」の量空間も，同様にイメージします．
それらの量空間の仲立ちとなるのが，「時間の値を60倍すれば，同じ（時間的な）長さの，分の値になる」という性質であり，略すと「時間に60をかければ，分になる」です．その逆演算は，「分の値を60分の1にすれば，同じ（時間的な）長さの，時間の値になる」であり，「分を60でわれば，時間になる」です．
ここで60倍というのは，1時間＝60分，2時間＝120分，0.8時間＝48分など，同じ（時間的な）長さになる2つの数量を対応づけるものとなります．異種の2つの量の対応づけは，小学校では4〜6年で学習します（ただし単元名に「単位の換算」というのは見当たらず，代わりに「変わり方」「比例」などになります）．
「空間をイメージ」を，小学校の算数で実現するには，対応表です．
かけ算・わり算の関係をつけると，以下のように表せます．
大人の世界では，ここまでの内容をもとに，(1)に2×60の式を立てて，答えが求められると言ってもいいのですが，Vergnaud (1988)で取り上げられている，おもちゃの車の問題をふまえると，2×60は，低学年の子どもたちにはなじみにくいかもしれません．おもちゃの車の問題*1に関して，書かれていたのは，"Twenty dollars cannot be 5 cars + 5 cars + 5 cars + 5 cars."です．今回の話なら，"120 minutes cannot be 2 hours + 2 hours + ... + 2 hours."となります．
ここでさらに，問題です．
「0.4時間は，何分ですか．」をかけ算で求めるとき，何がかけられる数，何がかける数であるべきでしょうか．
優等生的な解答はというと，60×0.4でも0.4×60でも求められるので，「どちらでもいい」なのですが，ここに，出典を挙げて一つの答えを導出せよ，という条件をつけ加えるなら，60をかけられる数，0.4をかける数にするのが良さそうです．
参照するのはGreer (1992)です．乗除算のモデル表の"Measure conversion"に着目します．そして表の，他の内容と合うようにするなら，60をかけられる数*2，0.4をかける数に対応づけるのが自然です．
「0.4時間は，何分ですか．」をもとにすると，乗除算の問題文は，次のように書くことができます．
- Multiplication problem：1時間は，60分です．0.4時間は，何分ですか．
- Division (by multiplier)：0.4時間は，24分です．1時間は，何分ですか．
- Division (by multiplicand)：1時間は，60分です．24分は，何時間ですか．
Greerの表にはかけ算・わり算の式はこうだと明記されていませんが，上の2番目の文章題から，24÷0.4＝60と書くことができ，0.4が，multiplier（かける数）です．また3番目の文章題は，24÷60＝0.24という式になり，60が，multiplicand（かけられる数）です．
ここから，Greerの文献を離れた考察をします．3つの文章題を書きましたが，2番目の「0.4時間は，24分です．1時間は，何分ですか．」には違和感があります．「1時間は何分かなんて，60分だよ，『0.4時間は，24分です』は，いらないよ」と，ツッコミができるのです．
算数でそんな問題を出すわけにいかないからと，取り除いたら，「0.4時間は，何分ですか．」のタイプと「24分は，何時間ですか．」のタイプが，時間・分の相互換算の問題として考えられます．実質的に，1つのかけ算に1つのわり算という関係になります．
このことは，「分を60で割ると時間」「時間に60をかけると分」---「60に時間をかけると分」ではなく---というルールに至る理由となるようにも思います．
以下は書誌情報と，当ブログでの紹介記事です．
- Vergnaud, G. (1983). Multiplicative Structures, In Lesh, R. and Landau, M. (Eds.), Acquisition of mathematics concepts and processes, Academic Press, pp.127-174. isbn:012444220X
- Vergnaud, G. (1988). Multiplicative Structures. In Hiebert, J. and Behr, M. (Eds.), Number Concepts and Operations in the Middle Grades, Vol.2, pp.141-161. isbn:0873532651
- Greer, B. (1992). Multiplication and Division as Models of Situations. In Grouws, D. A. (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, National Council of Teachers of Mathematics, pp.276-295. isbn:1593115989
- かけ算と構造
- かけ算・わり算でモデル化される場面
- 海外では，「かけ算の順序」「たし算の順序」についてどのような見解を出していますか?
本日の記事を書こうと思ったきっかけは：
乗法ではかえって同一単位の量どうしの積の意味が薄いようです．縦の長さ×横の長さ＝長方形の面積 といった公式も，縦の長さ（側長）と横の長さ（幅）を別種の量と見て，その積によって面積（という新しい量）を定義する，とでも考えたほうが理解しやすいかもしれません．単位の換算も，Aの単位＝BのC単位*3 という換算率が明確なら，A，Bそれぞれで測った量a，bに対し，a＝b×cという公式で換算できます．第3章で述べる分数も「単位の換算」という一面があります．教育上ではこの種の自由な発想・解釈を許容すべきです．
（『数の世界 (サイエンス・パレット)』p.41）
それと，http://togetter.com/li/742591のコメントにも「単位の換算」のやりとりがあります（takehikomの名前でコメントしています）．
