算数教育・資料集（書籍：〜1999年）

目次

• 小学算術教材ノ基礎的研究
• 遠山啓著作集数学教育論シリーズ〈5〉量とはなにか
• 算数わかる教え方〈2年〉
• 算数子どもの考え方教師の導き方 2年
• さんすうの授業 第1階梯 小学校1・2・3年生
• 算数つまずきの診断と治療 (上巻)
• 小学校教育評価全集〈4〉算数
• おかしなおかしな数学者たち
• 現代小学校学級担任事典〈第7巻〉算数科授業研究
• 数と計算（新算数指導のポイント）
• かけ算とわり算 (わかって楽しい算数教室 1)
• 子どものつまずきと授業づくり
• 算数入門 かけ算プリント集
• はなまるリトル2年生 算数

小学算術教材ノ基礎的研究

• 木村教雄: 小学算術教材ノ基礎的研究, 培風館 (1936).

乗法の意義　aに等しい数をb個加えることをaにbを掛ける或は乗ずると云い，斯様な演算を掛算或は乗法と云う．此のことをa×bの記号で表して，此の場合にaを被乗数，bを乗数，而して掛けて得た数cを是等a，bの積と云う．積に対してa，bを何れも因数と云うことがある．
（式：省略）
従って乗法は加数が皆相等しい累加の簡便算として生れた算法である．
注意．乗法の意義に依れば，a×1，a×0は何れも意義を有ない．之に就てはa×1＝a，a×0＝0なりと定義するのである．尚，定義するということは規約することであるが，(略)
(p.18)

総九々の長所
(1) 自然的なること　4×3＝4＋4＋4 であり，3×4＝3＋3＋3＋3 であるから異なった事柄である．之を異なった言い方をするのは極めて当然である．4×3＝3×4 とする交換の法則を予想することは幼弱の児童には穏当でない．
(p.19)

斯様にして，欧米諸国の掛算九九は何れも被乗数先唱であり，我国の実際家にも此の被乗数先唱が便利であるとする者が相当に多い．併し之に対して乗数先唱の利点もまことに注目すべきものであって，我国小学国定算術書は被乗数先唱*1を採用して居る．
(p.23)

(p.18)

(p.19)

(p.20)

(p.23)

★☆

遠山啓著作集数学教育論シリーズ〈5〉量とはなにか

遠山啓著作集数学教育論シリーズ 5 量とはなにか 1 (1978年)

1972年1月26日の『朝日新聞』に小学校のテストをめぐる論争がのった。それによると，昨年の秋，大阪府松原市・松原南小学校の2年生のテストに，つぎのような問題があったという。
「6人のこどもに，1人4こずつみかんをあたえたい．みかんはいくつあればよいでしょうか」
これに対して何人かの子どもは，
6×4＝24
と書いたが，その答案は，答えの24こにはマルがつけられ，式の6×4にはバツがつけられ，4×6と訂正されたという。
(p.114．《ＢＡ型》)

ミカンを配るのに，トランプを配るときのやり方で配ると，1回分が6こ，これを4回くばるのだから，それを思い浮かべる子どもは，むしろ，
6×4＝24
という方式をたてるほうが合理的だといえる。
これが，もし，つぎのような問題だったら，どうだろう．「教室の机は1列に6つずつ4列ならんでいます．机はみんなでいくつありますか」という問題では，4×6でも，6×4でもいいとせざるをえないだろう．
（p.116）

★◆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

算数わかる教え方〈2年〉

算数わかる教え方〈2年〉 (1980年)

そこで，かけ算を1あたり量がいくつか（またはいくらか）あるとき，その全体量を求める計算として，かけ算を意味づけています．この考え方だと，
1mの50円テープ
　　4m分のねだんは　50円/m×4m＝200円
　　1m分のねだんは　50円/m×1m＝50円
　　0m分のねだんは　50円/m×0m＝0円
　　0.3m分のねだんは　50円/m×0.3m＝15円
　　m分のねだんは　50円/m×m＝40円
と整数，小数，分数のかけ算はみんな同じ教え方で指導できます．
(p.12)

(ウ)1あたりの数と土台量がわかって，全体量をつくり，求める
ここまでは，かけ算の場面の全景が絵で示されていました．つぎに
「箱が4つあります．この箱にえんぴつを6本ずつ入れていきます．えんぴつを全部で何本用意すればいいでしょうか?」
という形の問題に，はいります．これは，図に書くと次のページのような段階を踏むことになります．
つまり，全体量の姿ははじめみえないわけです．指導はつぎのようにします．
T 1箱にえんぴつを何本ずつつめるの?　　C 6本．
T それをはっきりさせるために，タイルで，書いておこう（色タイルを用いる．）
T 箱はいくつあるの?　　C 4はこ．
T なにをもとめるの?
T 4はこにつめるえんぴつの全部の数だね．では，それを図に書いてみよう．
T 式はどうなるの?　　C 6本/はこ×4はこ．
T タイルの数を数えて，答えを出そう．
(pp.123-124．《ＢＡ型》．図および図番号は省略)

算数子どもの考え方教師の導き方 2年

算数子どもの考え方・教師の導き方 2年

1単位の持つ数量「2」が「5つぶん」あることを「2の5倍」としてとらえ，さらに，2×5の式に表せるようにする．このとき，5×2と表す子どもが意外に多い．1単位のもつ数量や，何倍のとらえ方が，見方によっては反対になることもあるから，そのうちの1部は正しい考え方をしているのではあるが，一般にはとらえ方があいまいで，2と5の数字のみにとらわれた結果であるとみられる．
(pp.98-99．《ＡＢ型》)

かけ算を指導するとき，類似のものの集合に目を向けさせることが行われる．
右のような課題と絵が示され，2こずつということと，3まいということから，
2×3
の意味が指導されるのである．
2の段のかけ算を指導するということから，この課題が用意され，おさらとケーキが題意にそって示される．

おさらが3まいあります．
どのおさらにもケーキが2こずつのっています．
ケーキはぜんぶでなんこありますか．

(p.102．《ＢＡ型》)

(2)図に表して確かめる練習
ア．5つのいれものに6こずつのいちごがはいっているときいちごの数は全部でいくつあるかを求める式をかかせる．
（5×6とかきやすい．いちごは何こずついくつぶんあるか，図によって確かめさせる）
(p.110．《ＢＡ型》)

〈2〉2×5と5×2
1つの花びんに紅白2本ずつ*2の花がさしてある．この花びんが5つあるときの花の総数はいくつであろうか．
名数をつけて式をかくなら，2本ずつ5つであるから，2本×5である．そして，5×2本でもいけないし，5本×2もばつとなる．果たしてそうであろうか．
ある子どもは紅の花5本，白の花5本とみて，5本×2としているかもしれないし，事実，この例があったのである．また，間違いでもない．5×2本は小学校では避けた方がよい．というのは乗法を適用する場面をとらえるのが，しっかりしていない段階では混乱を起すからである．しかし，高校では，これが平然と使われる．(a・b)本の意味でa×b本とするのではなくて，ab本としても，誰も間違いは起さない．とすると，5×2本は小学校だけで間違いであるとは，おかしなことになる．小学校ではこの書き方を避けるということを教師は踏まえて，適当に指導するのがよい．
(p.116．《複数解》．編者・松原元一の解説)

さんすうの授業 第1階梯 小学校1・2・3年生

さんすうの授業 第1階梯―自主編成研究講座 小学校1・2・3年生

筆頭の監修者は銀林浩です．

③式を見て絵題づくり
「3×2になる問題を絵で書いてごらん」といってやらせてみると，子どもたちは喜んで絵をかきます。
〔子どもがつくった3×2の絵題〕

ところが，2×3の絵題になっている子がいます．

そこで，Mくんにたずねてみました．
T「○○パンの車の絵ね」
M「そう」
T「うまいねえ．きみ，このトラックの問題は何×何の問題?」
M「3×2」
T「そうか……じゃあ，このトラックの絵の横に，3×2のタイル図をかいてごらん」
M（わらばん紙の余白にフリーハンドで右の図をすらすらかく．）

T「よし，じゃあ……かけ算のことばでいうと，①は? きみのはトラックだから」
M「1だいに3人」
T「*3は?」
M「2だい．あれ?」（自分の絵は1台に2人になっています．）
M「……」
だまって自分の机についたMくんは，こんどはつぎの絵をかいて持ってきました．

こんどは3×2の問題になっています．このように，かけ算の図のかき方がわかり，すいすい作図ができるようになっている子でも，かけ算の意味や，1あたり量の意味がしっかり身についていないことがあります．
(pp.174-175)

(5)かけ算の文章題づくり
かけ算の意味が子どもに理解できているかどうかの最終的なツメです。意味がわかれば，問題がつくれるからです。そこで，「6×8の文章題をつくりましょう」と問題を出し，ノートに文章題をつくらせました。
〔子どもがつくった文章題〕
1) 1あたり量が先にきている問題

• 1はこにトイレットペーパーが6ロールはいっています。そのはこが8こあります。トイレットペーパーはなんロールありますか。
• 1ぴきの「なまず」の水そうに，えさの「めだか」を6ぴきずつ入れることになりました。「なまず」の水そうは8こです。さて「めだか」はなんびきいるでしょうか。

2) 分量が先にきている問題

• ねこが8ぴきいます。1ぴきにすずを6こつけると，すずは何こいりますか。
• 8びんにジュースが6dlあります。ジュースは何dlですか。
• 車が8だいありました。どの車にも人が6人ずついます。ぜんぶでなん人いるでしょう。

3) つまずいている例

• 1さつ8ページの本があります。その本が6さつあります。全部で本のページはいくつでしょう。
• ふねが6そうとまっています。人間が8人ずつのっています。ふねは，何そういるでしょう。
• （残り2例省略）

(p.176)

★☆☆

算数つまずきの診断と治療 (上巻)

算数つまずきの診断と治療 (上巻)

奥付によると著者は“「算数・数学教室」経営　数学教育協議会々員　雑誌「ひと」編集委員”で，遠山啓・銀林浩の監修または編集による著書もある．

(4) かけざんの しきを かいて こたえを もとめなさい．
① 4こいりの せっけんの はこが 3はこあります．せっけんは みんなで なんこ はいっていますか．
しき（　　　　　　）　こたえ（　　　　）
② いろがみを 8人にくばります．1人に3まいずつくばると なんまいくばることに なりますか．
しき（　　　　　　）　こたえ（　　　　）
③ かぶとむしが 4ひきいます．かぶとむしの あしは 1ぴきに6本あります．あしは みんなで なん本ありますか．
しき（　　　　　　）　こたえ（　　　　）
④ 5dlいりの ジュースのびんが 8本あります．ジュースは ぜんぶで なんdlありますか．
しき（　　　　　　）　こたえ（　　　　）
(pp.112-113)

(4)の文章題では，②の問題で式に
　　ⓐ 3×8＝24
　　ⓑ 3まい×8＝24まい
　　ⓒ 3まい×8人＝24まい
　　ⓓ 8×3＝24
　　ⓔ 8人×3まい＝24まい
などの式がみられた．どれも正答として扱ったが，ⓓⓔについては，1人あたり3まいずつ，8人の色紙のまい数を求めるのだから，式は，
（1まいの数）×（いくつ分）＝（全体の数）
　3まい　×　8　＝　24まい
と，被乗数は1あたりの数の「3」のほうがよいことを説明した．なお助数詞をつけるかつけないかについては，それぞれの学校や先生方の考え方もあることだから，どれでもよいことにした．しかし，わたしは説明する場合は助数詞をつけて，3まい×8＝24まいを使っている。本来なら，3まい/人×8人＝24まいで説明したいのだが，2年生には，3まい/人はむずかしいので，そうしているのである．
文章題についての誤答は意外に少なかったが，そのわけはかけ算ばかりの問題で，しかも乗数と被乗数を入れかえた式を書いても正答にしたためである．
(p.116)

小学校教育評価全集〈4〉算数

小学校教育評価全集〈4〉算数 (1984年)

また，「ボートが9そう走っています。1そうに4人のっています。ボートにのっている人は，ぜんぶで何人でしょうか。」を9×4＝36と表現する子どもが多く（35%），乗法の意味をよく理解していない結果が現れている。
(p.198．《ＢＡ型》）

おかしなおかしな数学者たち

おかしなおかしな数学者たち (新潮文庫)

pp.102-124で，遠山啓を取り上げている．

もう大分前のことになると思うが，あるとき私の所へ，名古屋から電話がかかってきた．そしてその電話の主はつぎの話を私にした．
「名古屋のある小学校で、算数の試験につぎの問題が出た。
ミカンを４つずつ６人の人に配りたいと思う。ミカンは全部でいくつあればよいか。
この問題に対して、大部分の子どもは、
４×６＝２４
個と答えたが、なかに一人、
６×４＝２４
と答えた子があったが、先生はこれを０点にしてしまった。
この先生の考えでは、問題の性質上、これは４掛ける６と考えるべきであって、６掛ける４というのはおかしい。したがってたとえ答えはあっていてもこれは０点であるということであったらしい。
ところがＰＴＡの人たちは、答えがちゃんと合っているのに０点とはひどいといって騒ぎ出した」
ここまで話したその電話の主は
「ところで矢野先生は、４掛ける６がよくて、６掛ける４はいけないとお考えですか。それとも４掛ける６でも、６掛ける４でも、どちらでもよいとお考えですか」
と私の意見を求めた。
(pp.119-120．《ＡＢ型》)

と答えてもよいではないかという返事をして、私はようやく一時間の宿題を解いたわけであるが、一週間ほどのちに、遠山先生に以上のことをお話したら、
「矢野くんはやっぱり算数は素人だね。実際、矢野君の言うように考える子がときどきあるんだよ。われわれはこのような配り方を、カード式配り方と呼んでいるがね」
ということであった。
つまり、遠山先生のお考えによれば、いやしくも数学の教師たるものは、乗法の交換法則４×６＝６×４に対してもここに述べたような二つの方法による説明を知っているべきである、ということであった。
(p.124．「カード式配り方」は「トランプ配り」)

現代小学校学級担任事典〈第7巻〉算数科授業研究

現代小学校学級担任事典〈第7巻〉算数科授業研究 (1985年)

1つのはこにせっけんを6こずつつめようとおもいます。はこが3つでは，いくつのせっけんがつめられますか

(1) 6＋6＋6＋6＋6＝30　30個
(2) 6×5＝30　30個
(3) 5×6＝30　30個
（留意点と参考事項）(1)の式を書く場合は，不注意による場合もあるが乗法の意味が理解できていない場合もある。(3)は，1箱に詰める石けんの数と箱の数（いくつ分を表す数）の理解が明確ではないので，前時に扱った内容であるが，再度取り上げ，説明し，必要なら個人指導もする。
(p.307)

（指導段階と主な発問）
2×5＝□となるような問題と 5×2＝□となるような問題をつくりましょう。
（主な反応と教師の助言）
2×5＝□も5×2＝□も同じみたい。
答えは同じだけれど違う。
〈例〉2×5＝□
お友だちが5人きました。1人に2こずつケーキをくばるとケーキはみんなでいくついりますか。
　（図：省略）
5×2＝□
1はこに5こずつケーキが入っています。2はこ買うとケーキは，みんなでいくつありますか。
（留意点と参考事項）

• 2×5＝□，5×2＝□となるような問題ができれば，本時の学習内容が理解できたものと考えてよい。
• 2×5＝□，5×2＝□のいずれか一方の問題しかつくれない場合は2×5，5×2の意味の理解が明確でないと考えられる。このような子供には，情景を具体的に説明したい。
• 机間巡視そして2×5＝□，あるいは5×2＝□ばかりをつくっている子供など，注意して見ておく。
• ノートや紙を最後に回収し，評価する。子供によっては，2×5，5×2の区別がつきにくいが，かけ算の指導全部の見通しをもって繰り返し取り上げ，個別指導をするなどの配慮が必要である。

(p.308)

かだんにチューリップのきゅうこんをうえたいとおもいます。1れつに9こずつならべて，4れつにします。チューリップのきゅうこんは，なんこあればよいでしょう。
(p.341．《複数解》)

数と計算（新算数指導のポイント）

数と計算 (新算数指導のポイント)

「四つのお皿にみかんを3個ずつのせてあります。みかんはみんなで何個でしょうか。」という問題を与え，立式させると，3×4と4×3との区別がつかず，問題にかかれた数字の順番に4×3と立式する子どもをよく見受ける。
これは，かけ算の意味がよく理解できていないことから起こると考えてよいであろう。また，12という答えがみかんの個数なのか，皿の枚数なのかがあいまいな子どもいる。
(p.152)

上記は「[18] 4×3の意味」から．巻末によると執筆者は嶋田博次（和歌山県和歌山市教育委員会）．

かけ算とわり算 (わかって楽しい算数教室 1)

かけ算とわり算 (わかって楽しい算数教室 1)

どのかぶと虫にも足が6本ありますから(略)3匹のかぶと虫の足の数は
6本/匹×3匹＝18本
だということがわかります．
(pp.12-13．《ＡＢ型》)

上の問で思いついたものをつかって，かけ算の問題を作りましょう．たとえば，牛の足は4本で，ひづめは1つの足に2個です．ですから，
1頭の牛のひづめの数は全部でいくつですか？
という問題ができます．
(p.11．《ＢＡ型》．この設問では，かけ算の式で表すことを要請していない．)

子どものつまずきと授業づくり

子どものつまずきと授業づくり―わかる算数をめざして (子どもと教育)

ある大学の先生が、小学校の先生と共同で、子どもたちのかけ算の理解について調べた調査結果があるんです。三年生から六年生を対象にして、どれくらい九九を覚えているかとかね。その調査問題の中に、つぎのような問題があるんです。
4×8の計算で答えを出す問題（お話）を作って下さいっていう問題です。普通の問題とは逆なわけですね。問題を作るのが『問題』なんです。(略)
(p.29)

調査の対象になった子どもたちも，この問題をやったわけです。ではねえ、どれくらいの子どもたちが問題を正しく作れたと思います? 三年生と六年生の正答率を予想してみて下さい。横浜の小学校で、各学年五〇〇人くらいのデータです。すごい人数ですね
(p.30)

プリントの表を見てください。正しく問題を作れたのは、三年生から六年生まででほぼ同じ割合ですね。だいたい50%弱……(略)
ただし、式を逆にして問題を作った子どもが、どの学年でも15%くらいいるでしょ。かたいことを言わなければ、これもまあ正解だよね。そこまで正解とすると、三年生から六年生までどの学年でも、65%くらい。まあ大ざっぱに言って全体の三分の二といったところですね
(p.31)

• 小野田先生が大学の授業で紹介した「かけ算」の調査――佐伯胖・長坂敏彦・上野直樹「小学校算数における理解のドロップアウト」昭和六二年度特定研究成果報告書『子どものドロップアウトに関する教育学的研究』*4。(略)

(p.204)

算数入門 かけ算プリント集

算数入門 かけ算プリント集―すぐに授業ができる解説付

もんだい2
ふくろが7フクロあります。どのふくろにも，りんごが6コずつ入っています。りんごは，ぜんぶで何コ〔＝？コ〕あるでしょう。
(p.44．《ＢＡ型》．最初の《ＢＡ型》はp.13に見られる．)

子どもたちは，文章のはじめにある数字を〈1あたりの数〉として式を作ってしまいます。ですから，はじめに「数字の出てくる順番ではない」ということを言い，何を箱に入れてかけ算のしきを作ったらよいか考えるよう指導します。
立式の答え合わせのとき，〈1あたりの数〉と全部の数（答え）の単位が同じになることを子どもたちに教えておきます（立式が正しいかどうかの確認の意味があります）。本書では，単位が同じになることを矢印で表しています。
(pp.44-45)

はなまるリトル2年生 算数

はなまるリトル 2年生 算数

ボートが 7そう あります。1そうに 5人ずつ のると，ぜんぶで 何人 のれますか。
(p.45．《ＢＡ型》)

まず1あたりがいくつなのかをさがさせます。(3)は，ボート1そうあたり5人ですから，5×7と立式させます．7×5だと1そうに7人ずつ乗ったボートが5そうあることになるので，式の意味が違うことを確認させましょう。
(解答・解説 p.12)

（リリース：2013-02-09 早朝）

*1:原文ママ．黒表紙・緑表紙の違いなどを考慮すると，「乗数先唱」が真意ではないかと推測します．

*2:「紅が1本，白が1本で，1つの花びんに2本ずつ」と思われます．

*3:タイル図における分量の部分です．

*4:この文献はCiNiiでヒットしません．