いきなりですが問題です．
以下の点の並びから，4つの点を選んで結び，緑の正方形のちょうど5倍の面積となるような正方形をつくりなさい．
できた人は，そのちょうど2倍（緑の正方形のちょうど10倍）の面積となるような正方形をつくりなさい．
それもできた人は，3つの点を選んで結び，正三角形をつくりなさい．
さっそくですが解答例です．緑の正方形の面積を1㎠として，面積が5㎠の正方形は，次のとおりです．
なぜこれが「面積が5㎠の正方形」となるかは，平方根は不要で，小学校で学ぶ内容をもとに説明することができます．次のように囲みます．
そうすると，1cmと2cmの辺が直角を挟む直角三角形を，4つ組み合わせれば，その4つの斜辺が，答えとして作った四角形のそれぞれの辺になることが分かります．斜辺の長さは求めなくても，4つの直角三角形は合同なので，どの辺も等しいと言えます．
「どの辺も等しい」だけでは，ひし形です．正方形を言うためには，どの角も直角であることを確かる必要があります．しかしそれも次のとおり，難しくありません．
青の曲線が，四角形の一つの角になります．黒の角と青の角を合わせると，180度です．それと別に，青の曲線で分けられた，2つの黒の角の和は，直角三角形の直角を除く2つの角の和ですので，90度です．なので青の角は，180−90＝90で，90度となります．四角形の他の角も同様に90度となることが分かり，したがってこの4点の囲みは正方形です．
面積は，3×3−（1×2）÷2×4＝9−4＝5です．最初に立てた式に，単位をつけると，3cm×3cm−（1cm×2cm）÷2×4となります．「÷2」は長方形を対角線で切って（直角）三角形にする操作を，「×4」は直角三角形は4つあるので（取り去る部分の）面積も4倍にすることを，それぞれ表します．
面積が10㎠の正方形は次のとおり．
今回の問題の「点の並び」は，格子点，それも正方格子と呼ばれます．その座標全体の集合は，と表せます．2つの正整数a，bに対し，(a,0)，(a+b,a)，(b,a+b)，(0,b)の4点を結んでできる図形は正方形となり，その面積は
＝
＝
です（1辺の長さは
です）．面積が5となるのは，a＝2，b＝1の場合，面積が10となるのはa＝3，b＝1の場合です．
3点を結んで正三角形をつくるのも，試してみましょう．次の図形は，正三角形でしょうか?
違います．底辺は4cmですが，残りの2辺は4cmよりも長いからです．
底辺を4cmとする正三角形をつくるには，次のようにしないといけませんが，一つ，頂点が，「点」上にありません．
3つの点を選んで結び，正三角形をつくる問題，実は「解なし」です．そうなる理由として，が重要な役割を持ちます．ともあれ証明しているところにリンクしておきましょう．
正三角形がつくれないのは，2次元の正方格子上だからで，これを3次元，すなわちの座標上から3つの点を選んで結び，正三角形をつくるとなると，これは無限集合にしなくても，1個の立方体（
）から得ることができます．図は次のとおり．
立方体の8つの頂点を区別すると，そこから3つの頂点を選ぶ方法は56通りあって，そのうち24通り8通りが，立方体の1辺の倍の長さの辺からなる正三角形となります*1．
（最終更新：2016-06-10 晩）
