- 志水廣, 算数科：授業づくりのマニュアルの実践的研究, イプシロン, Vol.38, pp.59-75 (1996). http://ci.nii.ac.jp/naid/110000108478 http://hdl.handle.net/10424/1439
前半(pp.59-66)は授業紹介，後半(pp.66-75)はマニュアルづくりの留意点が書かれています．現在，「マニュアル」というのは，それに基づいてしか行動できないといったふうに，融通が利かないことの象徴となっていますが，この文献ではどうやら，指導法や指導案をマニュアルと称しており，自分で作りあげ，磨き上げるにはどういったところに配慮すればいいかが，記されていると判断しました*1．
前後半とも，「小数のかけ算」を取り扱っています．具体的には，乗数が小数となるような乗法の「意味」と「計算の仕方」です．使用する（問題解決の中で立てる）式は，400×2.3です．
小数のかけ算の最初で，2.3が乗数となっているのはなぜなのか…
「教科書がそうなっているから」という答えは，野暮というものです．なぜ教科書が，2.3を乗数に選んだのかを検討していきたいところです．
上記の文献から拾い出せる根拠，言い換えると「ああ，そうなっているのか」と感じたのは，次の2点です．
- 400×2.3の答えは，400×2と400×3の間にある*2．これにより，数量関係の把握*3や，比例の考え方*4の適用が期待できる．
- 400×2.3＝400×2＋400×0.3と分けた*5とき，400×0.3＝400×3÷10や400×0.3＝400÷10×3＝40×3などにより計算できる．
これらについて，数直線とその前後の文章を取り出しておきます．
特にできない子どもに対しての手だてである。私なら線分図を記入した紙を与える。
この図によって，0.3mを求めればいいことを分からせる。それでも分からないときは，0.1mの値段を考えさせる。
この2段階のヒントでたいがいの子どもはできるはずである。
(p.61)
では，なぜこの学習課題が解決のためのヒントを包含しているのか。
もう一度，下の線分図を見てほしい。
まず，2.3mが2mと0.3mに分けられることに気づく。つぎに0.3mの代金をどのようにして求めればいいかを考えればいい。そこで，1mが400円になっていることから，0.1mは，1mの10分の1だから40円となり，0.3mは120円となることが分かる。また，0.3mは3mの10分の1だから，1200÷10＝120円となることも分かる。3mまで示すことが大事なのが分かるだろう。
しかも，遅れた子どものためには，線分図に0.1きざみの目もりをうっておくとよい。これが解決のひらめきに役立つ。
(p.70)
とくに，400×3が，上界（求める金額が400×3＝1200(円)よりも大きくなったらおかしい）と，小数部の処理（400×0.3＝400×3÷10）の2つの意味で用いられるのには，なるほどと感じました．
1つの数直線上で，下界（×2）も上界（×3）も，×0.1も，そして0も入れた，全体を見ることができるのが，×2.3だと思えば，乗数をこの値にしたのも納得がいきます．
補足を2点．
(1) 上の引用では「特にできない子ども」「遅れた子ども」が出てきますが，授業紹介では，400×2.3を未習の筆算で求める子どもとその対応についても，取り上げられています(p.65)．そこでは*6，筆算で計算すると，小数点以下が消える処理（あるいはp.65の「小数点の移動のたての線」）が必要となり，処理が煩雑になります．
導入においては，10の倍数に，1を超えて10未満で小数第1位までという数をかけ…式にするなら，(a×10)×(b＋c÷10）＝a×10×b＋a×cを求めることになります．
そうするとこれは，筆算よりも数直線，形式的処理よりも意味理解と合わせた計算を行うのが，より望ましい，といったところでしょうか．
(2) 冒頭の文献は，昨年のちょうど今ごろにはてブ*7しました．また昨年12月には，批判的なツイートが出ています*8．
雑誌名の「イプシロン」は，愛知教育大学数学教育学会誌とのことです*9．大学そして算数・数学教育の変遷について，http://hdl.handle.net/10424/987の文献を興味深く読みました．
*1:自分にとっては話す予定のことを当ブログで記事にしてみたり，使い捨てのコードを書いたり，PowerPointやInkscape，あるいはワンライナーのconvertコマンドで絵を描いたりする活動と，重なっています．
*2:「400×0.3の答えは，400×0と400×1の間にある」というのは，考えてみれば確かにそうだけれど，400×0や400×1を持ち出すことの必要性が出てきません．このことは，小数の乗法の導入にあたって，乗数は純小数（1より小さい小数）よりも帯小数（1より大きい小数）のほうが教育上良いとする根拠となります．
*3:数直線を使って「400×2.3の答えは，400×2と400×3の間」を理解しておけば，400×2.3＝9200という答えになってしまっても，400×2＝800，400×3＝1200で，9200がそれらの間に入っていない，おかしいぞと思うことができます．
*4:英語ではproportional reasoningです．現在の教科書で，比例を先，小数のかけ算をその後に配置したものもあります．「1m400円のリボンを2m買うなら400×2(円)，それなら2.3mを買うのは400×2.3(円)でいいじゃないか」とすれば，形式不易の原理（を演算の意味に適用すること）と考えることもできます．
*5:小数を含む分配法則を証明していない段階で，この式を認めてよいのかという問題はあります．実際，授業でこの式が出現しているわけではありません．そのことは，この項目の他の式変形にも当てはまります．
*6:学習指導要領解説に載っている80×2.5の式も該当します．
*7:http://b.hatena.ne.jp/entry/repository.aichi-edu.ac.jp/dspace/bitstream/10424/1439/1/epsilon385975.pdf
*8:https://twitter.com/temmusu_n/status/407133689252831233．当ブログでは同じ日の朝に，http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20131201/1385847772#3にて，1936年の本も「小数×整数」「整数×小数」「小数×小数」の順になっていることを見てきています．
