いきなりですが問題です．
集合S上の二項関係〜が，反射律，対称律，推移律をすべて満たすとき，〜はSの同値関係であるといいます．
「対称律と推移律を満たせば，反射律が導かれる．したがって同値関係の定義に反射律は不要である」という主張に対して，どう答えますか．
元ネタです．
問1 ある人が「対称律があれば、x〜yとするとき、y〜x。ここで推移律を用いるとx〜xが導かれる。だから同値関係の定義で反射律は実は余分である。」と言った。正しいだろうか？
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/literacy-2014/equivalence.pdf
これを目にしたところで，スクロールする手を止め，少し考えました．
以前，「≠」は同値関係ではないと書いたっけ…あれは，対称律のみを満たし，反射律と推移律を満たさないのでした*1．
そのあと，少し検索して，以下のPDFを見つけました．
しかしこちらは問題だけで，答えがありません．そろそろインターネットの情報を頼らず，自分で考えますか．
本腰を入れて検討すること3分…
Sの任意の要素a,bに対し，a〜bが偽となるよう，〜を定めれば，対称律と推移律を満たし，反射律は満たさないことに気づきました．
文字を使って確認：
- 対称律とは「a〜bならばb〜a」．仮定（ここではa〜b）が成り立たないときは，結論（ここではb〜a）の真偽にかかわらず，「仮定ならば結論」は真である．よって対称律が成り立つ．
- 推移律とは「a〜bかつb〜cならばa〜c」．仮定（ここではa〜bかつb〜c）が成り立たないときは，結論（ここではa〜c）の真偽にかかわらず，「仮定ならば結論」は真である．よって対称律が成り立つ．
- 反射律とは「a〜a」．上で定めた〜は，この性質を満たさない．
Sは有限集合でも，無限集合でも良さそうです．要素数1でも大丈夫ですね．空集合は，まずそうです．
それで，先ほどの「問1」のPDFファイルを読み進めていくと，末尾に答えが書かれていました．
自分なりに検討したことが含まれており，別解もありまして，勉強になりました．
ここまでは言ってみれば，「対称律と推移律を満たすが，反射律を満たさない二項関係が存在する」です．「反射律と対称律を満たすが，推移律を満たさない二項関係」に変更すると，http://okwave.jp/qa/q402551.htmlのベストアンサーで丁寧に書かれていました．
当記事をつくるきっかけとなる情報もあるのですが割愛します．http://b.hatena.ne.jp/takehikom/20150817にて，上記のほかいくつかのブックマークを入れましたのでどうぞご覧ください．
