いきなりですが問題です．次の樹形図について，場合の数は何通りでしょうか．式と答えを書いてください．
本記事では，樹形図の「場合の数」は，その末端となる要素の数をカウント（または計算）して求めることとします．グラフ理論（wikipedia:木_(数学)）の用語を使うなら，葉の個数を数え，葉でない根や節点は除外します．
といったところで解答です．場合の数は「6通り」です．式は，3通りが思いつきます．
- 2＋2＋2＝6
- 2×3＝6
- 3×2＝6
たし算の式は，真ん中の列から伸びている要素が，2個，2個，2個になっているので，足し合わせて得られます．「2×3」は，「1つ分の数×いくつ分＝ぜんぶの数」に基づき，かけ算で表したものです．
かけられる数が3になる式は，次のように考えます．左端だけで1通りとみなし，それが真ん中の列では，3通りに「枝分かれ」しています．真ん中と右端の列を比較すると，真ん中のそれぞれが2通りに「枝分かれ」していて，これを「×2」で表せるので，「3×2」となるのです．
ここまでについていくつか関連情報を書いておきます．(1)の樹状図はツイートで見たものです．2×3の式は，いわばボトムアップアプローチに基づく立式であり，の順列の総数が「6×4」で表される場面を中心に，算数における順列・組み合わせの扱いについて - かけ算の順序の昔話で集約を図りました．それに対し3×2はトップダウンの考え方と言え，小学校教師向けの出版物だと例えば『新版 全授業の板書例と展開がわかるDVDからすぐ使える映像で見せられる まるごと授業算数 6年』のp.212で見ることができます．樹形図の書き方のコツと注意点 中学受験で「場合の数」をマスターする！ – 中学受験ナビには「4×6＝24」，場合の数は樹形図の書き方を理解すればマスターできるには「6通り×4＝24通り」という，かけ算の式が，出現します．場合の数から離れて，ある場面に対するa×bとb×aの対比を，海外文献をもとにかけ算と構造で紹介しており，昨年出版された『深い学びを支える算数教科書の数学的背景』では異なる取り上げ方がなされています．
続いてですが問題です．次の2つの樹形図について，場合の数は何通りでしょうか．式と答えを書いてください．
いずれも「6通り」です．2つ，3つと枝分かれしている(2)の樹形図で，場合の数を求める式は，「3＋3＝6」「3×2＝6」「2×3＝6」が考えられます．右の列が3つ，1つ，2つという，(3)の樹形図は，かけ算で表すのが困難で，式はたし算の「3＋1＋2＝6」だけでよいでしょう．
さらにですが問題です．ここまでの3つの樹状図で表されるような文章題を，それぞれ作ってください．
さっそく，解答です．左・中・右と，3つの列があるので，「3桁の数」で文章題を考えたいところです．左端（根）は1つだけであることも，活用します．問題（文章題）と答えは，例えば次のようになります．
- (1)の問題：3桁の整数を考えます．どの位の数も，6以下で，0は現れません．百の位は1です．十の位は1か2か3です．この整数は3で割り切れます．このような整数は全部でいくつありますか．／答え：6通り（111, 114, 123, 126, 132, 135）
- (2)の問題：3桁の整数を考えます．百の位は1です．十の位は3か4です．この整数は3で割り切れます．このような整数は全部でいくつありますか．／答え：6通り（132, 135, 138, 141, 144, 147）
- (3)の問題：3桁の整数を考えます．百の位は1です．十の位は3か4か5です．この整数の約数は，1とその数だけです．このような整数は全部でいくつありますか．／答え：6通り（131, 137, 139, 149, 151, 157; wikipedia:素数の一覧）
