いきなりですが問題です．一辺が1cmの棒を使って正三角形をピラミッドのように並べていきます．以下は5段のときの並びです．
段の数を○，周りの長さを□としたとき，○と□の関係を，式に表しましょう．
元ネタは，以下の本のpp.148-153です．
最初のページには，「1だん」「2だん」「3だん」の並びの板書写真と，「だんの数（○）」と「まわりの長さ（□）」の関係表を載せています．表の下には，児童の「きまりが見えました！」のセリフです．これに対し，教師が「すごいね！どんなきまりか教えてくれますか?」(pp.149-150)と言うのは悪手*1で，他の2つの言い方を推奨する展開となっています．
結論として(p.153)，式は「○（段の数）×3＝□（周りの長さ）」で，このようにすると20段のときの周りの数は，「20×3＝60で求めることができるのです」．5段なら，5×3＝15です．
この6ページを読み終えて，おーいおいおいと思いました．これ，『小学校学習指導要領算数編』の第4学年のところに例示されている，「段数と周りの長さの関係」の三角形バージョンです（本文では特に言及されていません）．元となるのは正方形の並びで，「算数授業研究」でも筑波の算数の先生方が授業を報告していました．サブブログ（かけ算の順序の昔話）で整理しています．
その知見に基づくと，今回の三角形の段と周りの長さについて，「○（段の数）×3＝□（周りの長さ）」のほか，「3×○（段の数）＝□（周りの長さ）」も（交換法則を使用せずに）説明ができるはずです（このことも，本文では特に言及されていません）．
○＝5の場合で，5×3，3×5となる考え方を図にします．まずは「周り」を構成する棒に，赤・緑・青の色を塗ります．
本数としては，赤は5本，緑も5本，青も5本です．トータルでは5＋5＋5＝15，ですが左辺はかけ算にすることができて，5×3＝15と式に表します．「1辺の長さが5cmの正三角形の周りの長さ」は，（5×3＝）15cmということです．
この色塗りについて，緑の色はそのままにして，赤と青を，以下の図のように移動させます．
そして，色のついた三角形の周りの長さの和を求めます．1個の三角形の周りの長さは，3cmです．それが5個あるので，全部で3×5＝15です．「1辺の長さが1cmの正三角形5個分の周りの長さと等しい」と考えて，（3×5＝）15cmを得るわけです*2．
5段に限定することなく，1段以上の任意の段数について，かけ算の式は「○×3」でも「3×○」でもよいと言えます．ただし，『小学校学習指導要領算数編』や，出版物などでは，説明変数（段の数に当たる○）を乗算記号の左に置く式を推奨しているように見えます．
GIFアニメーションを作ってみました．まずは5段の場合です．
自作のRubyスクリプトで，段数を指定すれば，赤緑青の色無しのピラミッド，外周を色分けしたピラミッド，下段の三角形に着色したピラミッドの各静止画像と合わせて，このアニメーションGIFファイルを生成するようにしました．スクリプトの公開は差し控えます．アニメーションは，シーンごとの画像を生成して最後にImageMagickのconvertコマンドで作っており，6段以上はうまく作れていません．また1段のときは，赤と青の移動が発生しません．以下に，4段，3段，2段のアニメーションを示します．
各画像の三角形の1辺の長さは40ピクセルですが，1本の棒の長さを描くにあたり両端5%ずつ減らしています．また棒の太さは，40ピクセルの5%にしています．ピラミッドの内部で，6つの棒の端点となるところ（5段なら6箇所）が，正六角形に見えるのは，この長さ設定のためです．
*1:「自分が絶対に言わないであろう言葉」とも書かれています．本書の21個の授業例（2章 算数授業での教師の判断力）の多くで，3つの「判断」の1番目には，「自分が絶対に言わないであろう言葉」が付いていました．
*2:https://takexikom.hatenadiary.jp/entry/2022/05/29/074041の求め方①を，本問に置き換えると，「1段増えると3cm長くなり，1段のときは3cmだから，○段だと○×3」となります．『算数授業を左右する 教師の判断力』p.153の板書写真を通じて，この考え方を読み取ることができます．
