- 被乗数と乗数が区別され，反対にして書くと，式の意味が異なるようなかけ算を，「倍の乗法」と呼びます．
- 被乗数と乗数の区別は本質的ではなく，反対にして書いても，その対象あるいは場面を表していると解釈できるようなかけ算を，「積の乗法」と呼びます．
- 「倍の乗法」に基づいて，乗法を意味づけるべきだという考え方を，「倍指向」と呼びます．
- 「積の乗法」に基づいて，乗法を意味づけるべきだという考え方を，「積指向」と呼びます．
倍指向と積指向は，次のように言い換えることができます．
- かけ算で表すことのできるどんな場面や対象も，「倍の乗法」に帰着できるとする考え方を，「倍指向」と呼びます．
- かけ算で表すことのできるどんな場面や対象も，「積の乗法」に帰着できるとする考え方を，「積指向」と呼びます．
もちろんこうしても，小学校の算数教育では，倍指向であることには変わりません．
ここで個人的な立ち位置を書いておきますと，「どんな場面や対象も…帰着できる」というのが極端なのであって，「『倍の乗法』に帰着するのがよい場面・対象・問題」と「『積の乗法』に帰着するのがよい場面・対象・問題」があるのだろうなと思っています．ただし算数・数学教育という観点では，教員や教育システム，学習する児童の数などを考慮する必要があります．
あくまで私自身の見立てですが，小学校では「倍指向」に大きく傾いており，中学以降，大人では，“あいだ”になると思います．以下は言葉遊びとして，「倍指向」と「積指向」を直交するベクトルのようなものとみなし，係数の和が1になる線形結合で表してみると，
- かけ算の導入時には，0.95倍指向＋0.05積指向
- 長方形の面積の学習後には，0.85倍指向＋0.15積指向
- 中学以降は，0.6倍指向＋0.4積指向
くらいでしょうか．かけ算の導入時に，積指向の要素が入る（係数が0ではない）のは，アレイ図があるためです．中学以降の倍指向の要素として，物理ほかの公式化，資料の整理を挙げることができます．
補足を2つ．「（同数）累加」は，倍指向の前提となります．実際，累加で乗法を意味づけるとき，被乗数と乗数の順序に意味があることは，『新しい学びを拓く算数科授業の理論と実践 (MINERVA21世紀教科教育講座)』p.113に記されています*1．
倍の乗法・積の乗法・倍指向・積指向を考えている間は，「被乗数と乗数の区別」に関心がありますが，「被乗数と乗数をそれぞれ“×”の左右どちらに書くべきか」については，別の問題，より正確には「被乗数と乗数の区別」があるときに，検討すべき問題*2です．
左右どちらに書くべきかについて，[Greer 1992]の先頭からp.280までを読み直すと，2例，文字式の中に「×」の入っているものはありますが，文章題に対してどれにも式が書かれていません．
「かけ算ではかける順序はどちらでもいい」に基づき，倍指向の現状の算数教育を攻撃する事例は，ブログのコメントから容易に見つかります．1点くらい，挙げておきますか．
あえてその逆をやってみます．積指向で学習するのでは苦労しそうな問題が，3種類，思い浮かびます．
一つは，図形のまわりの長さです．過去には俺演算決定で引用しています．
■の部分のまわりにロープをはります。■の部分のまわりにはるロープの長さは，どのような式で求められますか。
平成19年度全国学力・学習状況調査 算数B 大問1（1）
下の１から５までの中から２つ選んで，その番号を書きましょう。
１ 5＋3
２ 5×3
３ 5＋3＋5＋3
４ 5×3×2
５ (5＋3)×2
（引用者注：図は省略．「■」は原文では網掛けの長方形）
長方形だからといって，2つの長さをかけて面積を求めるのではないよ，という出題意図が読み取れます．*3
2番目は，10円玉を長方形的配列にしたときの，総額の計算です．かけ算 - 楽天 みんなで解決！Ｑ＆Ａにその議論があるのですが，問題文を作ってみます（数量は変更しています）．
●は10円玉です．それぞれ，全部で何円か答えなさい．
(1) ● ● ●(2) ●●●●●(3) ●●●●● ●●●●● ●●●●●
(1)と(2)は，(3)で間違えさせやすくするために入れたものです．(1)は30円，(2)は50円，じゃあ(3)は30×50で1500円なのかというと，そうではありませんね．
上記はともに，（かけ算を含む）式にする際，少々複雑な操作が入っていました．ですが，「a×b」の形で表せる問題の中にも，要注意なものがあります．
1本136円で，280mL入りのジュースを4本買います。
代金はいくらですか。
（東京書籍 平成23年度版 小学校教科書 新しい算数 3年上p.104; 算数デジタルカタログ見本p.16）
この問題，「かけて，答えを出す」とすると，正解となる「136×4」のほか，「136×280」「280×4」「136×280×4」も候補になります．「かけ算の順序」は考えなくていいとしても，これら4通りの中からどれが正しい式なのかを，何らかの方法で見きわめる必要があります．
倍指向，そして2年・3年で標準的に学習している方法に基づけば，「何を求めたいのか」「加減乗除のどれを使えばよさそうか」「『一つ分の大きさ』×『幾つ分』＝『全体の大きさ』に当てはめることができないか」と考えていくことで，正解を得ることが期待できます．もし自力でできなかったり，間違えたりしたとしても，先生や親きょうだいが，このプロセスを解説するなり，本人とともに考えるなりすれば，答えにたどり着くことができそうです．
何かあればいつもは次の日に改稿しているのですが，今日はその日のうちに行いました．タイトルも，当初の「積指向だと苦労しそうな問題」から変更しています．
*1:ルールを決めればこっちのもの-乗法の導入の解説
*2:「被乗数と乗数の区別」がないものに対して，2つの因数を左右に分けて書くのは便宜上のものであって，どちらに書くのかは本質ではない，と言えます．
*3:ただしこの問題では，１〜５をそれぞれ計算して，計算結果の一致する2つを答えとするという技が使えます．
