いきなりですが問題です．
長方形には当てはまるけれど，正方形だと当てはまらないことは，何でしょうか．
論理的には，長方形に対して成り立つ性質は，そのまま正方形にも成り立ちます．例えば「4つの角がすべて直角である」や「2本の対角線の長さが等しい」が思い浮かびます．逆に，正方形なら成り立つけれども，長方形では必ずしも成り立たない性質もあります．「隣り合う辺の長さが等しい」「対角線が直角に交わる」などです．
といったところで，解答例です．長方形では，2つずつ，角が合うようにして，折り重ねると，長方形ができます．しかし正方形に対して同じ操作をしても，正方形にはなりません．紙を使って，簡単に実演できます．
別の切り口を，書いてみます．長方形の縦と横を決めたとき，縦の長さを固定して，横に伸び縮みさせても（ただしその長さを0にしないようにして），長方形をつくることができます．しかし正方形に対しては，同様に横方向に伸び縮みさせると，正方形でなくなってしまいます．
このことは，大人モードで，2次元の直交座標系を使って，表すことができます．まず4点，O(0,0)，A(a,0)，B(a,b)，C(0,b)をとります．a,b＞0とします．このとき明らかに，四角形OABCは長方形（正方形を含む）です．aとbが，正の範囲で任意に動いても，長方形（同）であることには変わりません．
正方形になるのは，a＝bかつそのときのみです．そこでA'(a',0)という点をとります．ただしa'＞0，a'≠aとします．この点A'は，「縦の長さを固定して，横に伸び縮み」させる操作に対応します*1．さらに，B'(a',b)とします．そうすると，四角形OA'B'Cは長方形ですが，正方形ではありません．
正方形であり続けるには，a＝bを維持したまま点Bを動かすことが必要です．直線y=x（x＞0）上に，その点がなければならないのです．そのように点Bを動かしたとき，点Aと点Cも動きます．したがって，「縦の長さを固定して，横に伸び縮み」させることができません．
「面積」を使って表現すると，長方形の面積は，縦の長さと横の長さに対して複比例の関係であるが，正方形の面積は複比例ではない，と言えます．「複比例」に関しては，日を改めて取り上げます．
むかし書いた正方形と長方形
はてブのコメントに「文脈自由文法を学べ」と書かれていましたが，“正規表現”を（形式言語理論における）文法として表したものを“正規文法”といい，正規文法は“文脈自由文法”でもあります．すなわち，“正規文法”として書いたのなら，それは“文脈自由文法”と言えますが，逆は成り立ちません．しかし，“文脈自由文法（かつ正規文法ではない）”によっては，それと等価な“正規文法”，そして計算機上の正規表現で表せるものもあります．「ナニナニ文法」は他にいくつかあって*3，それぞれのクラス（文法の集合）は包含関係によって階層化されており，チョムスキー階層なんて呼び方がついています．
約束の途中
*3：ここまで読んで，何が何だかでしたら，“正規文法”を正方形に，“文脈自由文法”を長方形に見立ててください．四角形や多角形に見立てられるものもあります．
なぜ正方形で当てはまらなくなったか
「長方形には当てはまるけれど，正方形だと当てはまらないこと」を導くために，「2つの長方形の関係」「2つの正方形の関係」に着目しています．
ある操作を，任意の長方形に適用すると（他の形の）長方形が得られるが，その操作を，任意の正方形に適用してできる（他の）図形は，必ず，正方形にならない，そんな操作を示した次第です．
比較すると，「論理的には」として書いたそれぞれの性質は，一つの図形に関する命題と言えます．
*1:a'＝(1/2)aにすると，「2つずつ，角が合うようにして，折り重ねる」ときの横の長さとなります．
