連続量÷連続量＝分離量

今月書いた，「醤油を分ける問題」を，数式を使って見直してみます．個別問題と（その集合としての）問題の区別や，SQLといった，情報科学関連のトピックも織り交ぜたいと思います．

なお，かけ算の式よりも，わり算の式のほうが多いのには，理由があります．「分離量÷分離量＝連続量」と「連続量÷連続量＝分離量」が考えられるからです．前者の例は，先ほど書いた，平均を求める場合です．後者には，今月6日に指摘した，同等の量という場面での包含除（全体の量÷1つ分の量＝幾つ分）が該当します．
ところで，13リットルの醤油の件から，もう少し面白い（頭の痛い?）ことを学べます．
「13リットルの醤油を3リットルずつに分けると、3リットル入りの醤油がいくつできるか」という問題の答えを出すなら，「13÷3＝4あまり1」と式にしたあと，答えは4つとなります．
ですが「13リットルの醤油が入った容器がある．3リットルの容器に分けて入れ，もとの容器を空にしたい．3リットルの容器はいくつ必要か」という問題にすると，式は「13÷3＝4あまり1」で先ほどと変わりませんが，3リットルの容器は，5つ必要となります．4つだと，13−3×4＝1で，もとの容器にまだ1リットル残ることになり，空になってくれないからです．
これらは，あまりのあるわり算を学習中にも解ける問題ですが，取り扱いとしては，切り上げ・切り捨てと関連させるのが合理的に思えます．13÷4＝4.3…として，小数の部分を切り捨てるのが前者の出題，切り上げるのが後者の出題になるわけです．
分離量と連続量，かけ算とわり算

上記のうち，「13リットルの醤油を3リットルずつに分けると、3リットル入りの醤油がいくつできるか」は，一つの個別問題です．そして，「13リットル」と「3リットルずつ」が与えられときに，「いくつ分」を求めるという，操作的な書き方になっています．
問題（個別問題の集合）を意識するとともに，宣言的に表すことができます．
S1＝｛(a,b,q)｜aリットルの醤油をbリットルずつに分けると，bリットル入りの醤油がq個できる｝
こうすると，(13,3,4)∈S1です．aとbに小数が入ってもよく，例えば(8.2,1.8,4)∈S1となります．13リットルを3リットルずつ分けても，7.8リットルを1.8リットルずつに分けても，できるのは「4つ」です．いずれも，あまりは「1リットル」です．
ただ，こう表してみると，(13,3,1)や(13,3,2)や(13,3,3)も，S1に属することになってしまいそうです．「1個できる」「2個できる」「3個できる」と言われれば，確かにそうだからです．そういった値を取り除くには，集合で記述する際に条件を入れればいいのです．
T1＝｛(a,b,q)｜aリットルの醤油をbリットルずつに分けると，bリットル入りの醤油が最大でq個できる｝
T1は，S1を使って表すこともできます．
T1＝｛(a,b,q)｜(a,b,q)∈S1，¬∃(a,b,q')∈S1［q＜q'］｝
「¬∃要素∈集合［条件］」は，条件を満たす要素はその集合に存在しないという意味です．
余談ですが，このような書き方は，SQLで問い合わせ文を作ったり読んだりするときにも，使えるかもしれません．「最大で」と書いたので，max関数を使いたいところですが，簡単には取り入れられないのです．もちろん数学的な利点，具体的には「読みやすさ」「書き分け」も指摘できます．すぐ下の，T2の同様の記述と，読み比べてください．
さて，引用に書いたもう一つの（個別）問題も，同様に集合で表してみましょう．
S2＝｛(a,b,q)｜aリットルの醤油が入った容器がある．bリットルの容器に分けて入れ，もとの容器を空にするとき，bリットルの容器はq個必要である｝
T2＝｛(a,b,q)｜aリットルの醤油が入った容器がある．bリットルの容器に分けて入れ，もとの容器を空にするとき，bリットルの容器は少なくともq個必要である｝
　＝｛(a,b,q)｜(a,b,q)∈S2，¬∃(a,b,q')∈S2［q'＜q］｝
ここでは，「bリットルの容器」を割るなどして「 $\frac{1}{3}$ bリットルの容器」を作ったり，容器を使い回したりしないと仮定します．関連する検討は，今年はじめ，子どもの視点でにて行っています．
ここまで，a,b,qの取り得る範囲を明確にしていませんでしたが，ここで確認しておきましょう．まず，aとbの取り得る範囲は，正の実数とすることができます．aについては，0を含めてもかまいませんが，bは，そうするわけにいきません（0で割ることになってしまう!）．しかしqはそれらと異なります．0または正の整数です．q＝0になるのは，S1やT1に属する3つ組(a,b,q)について，a＜bのときです．1リットルしかないのに，1.8リットル入りの醤油と称して売るわけにはいきません．
集合T1とT2，そしてそれらのa,b,qの取り得る範囲から言えるのは，連続量の包含除（「分け算」）によって，「いくつ分」に対応する商が，整数すなわち分離量になる，そんな事例があるということです．次にすべきなのは，「分け算」を「わり算」にすることです．
T1では，aとbの値が決まれば，次の式によって(a,b,q)∈T1となるqが求められます．
$q=\lfloor a/b \rfloor$
わり算の記号には，「÷」ではなく「/」を使っています．それと，床関数を使用しました． $\lfloor x \rfloor$ は，x以下の最大の整数を表します．「ガウスの記号」のほうがなじみという人も，いるかもしれません．
この記号を使わないなら，商と剰余の関係
a＝bq＋r
でも，表現できます．0≦r＜bという制約を入れれば，qはaとbから一意に定まります*1．
T2だと，こうなります．
$q=\lceil a/b \rceil$
こちらは，天井関数を使っています． $\lceil x \rceil$ は，x以上の最小の整数です．
商と剰余の関係に，少し手を加えて
a＋r＝bq
と書くとしましょう．このとき，「13リットルの醤油が入った容器がある．3リットルの容器に分けて入れ，もとの容器を空にしたい．3リットルの容器はいくつ必要か」は，13＋2＝3・5という等式に対応します*2．この式の値すなわち15は，「15リットルまでだったら，3リットルの容器5つに入る」ことを意味します．
そしてこの式も，0≦r＜bと制約すれば，qはaとbから一意に定まります．
（最終更新日時：Sat Sep 29 05:17:01 2012ごろ）