Luckier!，「計算の意味の理解」の調査における一考察で引用した[Anghileri 1988]*1について，"THE RESEARCH: AN OVERVIEW"(p.151)の記述が興味深かったので，訳してみました．
Research on the learning of multiplication and division, while somewhat diverse, has generally focused on four main areas---teaching methods, structure and properties, children's understanding of the operations, and children's use of the algorithms. Research by Fullerton (1955), Norman (1955), and Gunderson (1955) provide some useful results in the area of teaching methods (and these are reflected in the recommendations noted in later sections in this chapter).
Useful work in the area of structure and properties has been carried out by Schell (1964), Gray (1965), and Willington (1967). Of particular interest in this area are those studies that have shown that different models of the operations of multiplication and division vary in their relative difficulty. Zweng (1964) found that children can understand the "measurement" (repeated subtraction) concept of division more readily than the "partition" (sharing) concept. Hervey (1966) considered the responses made by second-grade children to multiplication problems based on "equal addends" concept and on the "Cartesian product" concept and found that the equal addends problems were significantly less difficult. Hervey noted that it was less difficult for the children to choose the way to think about the problem for this type. This result was corroborated by Brown (1981) whose work in the United Kingdom with older children (10 to 14 years of age) showed that "repeated addition" and "rate" models for multiplication were easier than "Cartesian product" models.
（乗法・除法の学習に関する研究には，さまざまな形が見られるものの，おおむね次の4つの領域が注目されている．「指導法」「構造および性質」「演算に対する理解」「計算手続きの利用」である．Fullerton (1955)，Norman (1955)，Gunderson (1955)による研究は，指導法に関して有用な結果を残している（あとの節で，推薦する文献として取り上げる）．
構造および性質に関しては，Schell (1964)，Gray (1965)，Willington (1967)が価値のある成果を挙げている．それらの研究により，乗法・除法という演算のさまざまなモデルが，それぞれ異なった難しさを持っているのを示したことは，特に興味深い．Zweng (1964)は，児童らには「分割」（共有）の概念よりも，「測定」（累減）の概念のほうがよりよく理解できることを示した．Hervey (1966)は，2年生の児童らに「累加」と「直積」の概念に基づく出題を与え，その反応をもとに，累加の問題のほうが困難さが有意に低いことを示した．児童らがこの種の問題を考えるとき，そのやり方を選ぶのが比較的困難でないことを，Herveyは指摘している．この結果は，Brown (1981)によって裏付けられている．Brownは，イギリスで10〜14歳の子どもたちに対して調査し，「累加」や「割合」のモデルが「直積」のモデルよりも容易であることを示した．）
いくつか補足します．まず，「分割」（共有）というのは，等分除（にこにこわり算）に，「測定」（累減）のほうは，包含除（どきどきわり算）に，対応します．歴史的・国際的な話は，かつて包含除と等分除 再考で整理しました．
"measurement"すなわち「測定」と，"repeated subtraction"すなわち「累減」を同一視するには，想像ですがアルキメデスの原理を使うのがよさそうです．数学的な流れにて，量の加法性に関して「A＜B＋B＋…＋B」という不等式を挙げましたが，あまりのないわり算では，A−B−B−…−B＝0と表すことができ，この等式に現れるBの個数が，A÷Bの答えになるという次第です．
"Hervey noted"から始まる文は，「積指向で意味づけをしても，子どもは累加（倍指向）で計算する」（1968年の「被乗数×乗数」）と書いた話が関連しそうです．
「演算に対する理解」は，その次のページで，"Understanding"という小見出しをつけています．最初の段落で，Piagetの研究が引用されています．「計算手続きの利用」はp.154からで，タイトルの"ALGORITHMS"はすべて大文字でした．
