虚数とか複素数とかって難しいね

教師「虚数をiと表します。」俺「ほう」教師「i^2は-1になります」俺「…」

俺は高校数学を諦めた

今年書いたものを：

『数学文章作法基礎編 (ちくま学芸文庫)』p.157では，「 $x^2<0$ を満たす実数は存在するのでしょうか．」「いいえ， $x^2<0$ を満たす実数は存在しません．」「では， $x^2<0$ を満たす数を新たに定義してみましょう」の3つを字下げさせて地の文の中に埋め込み，そのあと，「このようにして，新しい数――複素数が自然に導入できます．」と記しています．
しかし，複素数の大小比較は要注意です．実際，http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/number/complexnumber.htmでは，複素数に関して，実数と同様の性質を持った線形順序が存在しないことを，背理法（もし存在したら，i＜0，i＝0，i＞0のいずれであっても矛盾）によって証明しています．
複素数を導入するための適切な問いは，「 $x^2=-1$ を満たす実数は存在するのでしょうか．」ではないかと思います．
優しい本―算数と数学

実数の概念を既知とし，虚数単位・虚数・複素数の定義を学習したところで，もし高校生が「どうして虚数とか複素数とかがいるの?」と聞いてきたら，

方程式 $3x+1=0$ は， $x$ が整数の範囲で解なし
方程式 $x^2+1=0$ は， $x$ が実数の範囲で解なし
だけど，方程式 $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots a_1x+a_0=0$ （ただし $a_n,a_{n-1},\ldots,a_0$ はいずれも複素数）は， $x$ が複素数の範囲でちょうど $n$ 個の解を持つ