出だしに，ぎょっとしました．
数学において，多くの主張は「AはBである」というような形をしています．「三角形の内角の和は180°である」，「1＋1は2である」，「
はxの2次式である」，「
は実数解をもつ」，あるいは「
の2乗は2である」などなどです．このような主張は，形は似ていてもその性格まで同じというわけではありません．「AはBである」というような主張は，大きく分けると定義と定理になります．(略)
(p.1)
定義と定理の区別は確かに重要ですが，列挙された「AはBである」の形の主張は，定義・定理と別の観点で，分類することができそうです．
読み進めると，もう一例，見つかりました．
(略)ちなみに正方形は長方形といってよいのでしょうか? 小学生に聞けば，正方形は「長くない」から長方形ではないと答える生徒が多いのではないでしょうか? もちろん上の定義を忠実に適用すれば，正方形は長方形です．(略)
(p.2)
この本では長方形や正方形の定義を明示していませんが，長方形に関しては「小学校の算数の教科書を見ると」と断った上で，「長方形とは4つの角がすべて直角の4辺形*1である」「4つの角がすべて直角の4辺形を長方形という」と記しています(p.2)．
「正方形は長方形である」や「正方形は四角形である」は，プログラミングにおいて“is-a関係”と呼ばれます．wikipedia:Is-aでは，「リンゴはフルーツである」「Apple is a fruit.」という例が挙げられています．
is-a関係と対比されるのは，“has-a関係”です．「四角形は4つの角を持つ」や「長方形は4つの直角を持つ」のほか，「二次方程式は2つの解を持つ」が該当します．例から容易に分かるように，has-a関係は「AはBである」の形ではありません．
「AはBである」には，is-a関係のほか，“is-equal-to関係”とでも呼ぶべきものがあります．“equalの関係”と略記することにします*2．
これは，「AはBに等しい」と言い換えることができます．最初の引用のうち，「三角形の内角の和は180°である」「1＋1は2である」「の2乗は2である」が該当します．2者（等式だと両辺）の少なくとも一方は計算を要する*3ことから，equalの関係は，定義ではなく定理となります．
「正方形は長方形である」は，equalの関係ではありません．集合の包含関係が，背景にあります．噛み砕いて言うと，「ある図形が正方形であるならば，その図形は長方形である」となります．（「ある図形」が気になった方は，「2次元座標上で(0,0),(1,0),(1,1),(1,0)の4点を順に結んでできる四角形」とでも置き換えてください．）
ここで，「〜は正方形である」「〜は長方形である」は，is-a関係とは別物です．というのも，is-a関係はクラス間，数学で言えば集合間の関係だからです．equalの関係でもありません．
所属の関係であり，英語を使うなら“belongs-to関係”でしょうか．is-a関係はA⊂Bなのに対し，belongs-to関係はa∈Aです．
英辞郎とスペースアルクで「belong to」を引き，用例を見ていくと，"belong to a professional baseball team"に「プロ野球の球団に所属している」という訳がついています．主語を複数形にしても，主語とプロ野球の球団は，「∈」の関係であり，「⊂」ではありません．
なのですが，“equalの関係”と“belongs-to関係”の中間のような「AはBである」もあります．「私は父親である」，"I am a father."といった形です．
意味としては，「私」と「父親」がイコールで結ばれます．しかし数学的には，父親全体からなる集合（，母親全体からなる集合，などなど）を考えて「私」はそこに属する，と解釈するほうが，議論がしやすくなります*4．
と，留意点はいくつかあるものの，「ある図形が正方形であるならば，その図形は長方形である」は，適当に文字の意味を定めた上で，t∈S⇒t∈Rと表すことができます．
「正方形は長方形である」が小学校で取り扱われない理由として，技術的なものと，政治的なものが思い浮かびます．理解のためには，is-aやbelongs-toといった関係の違いのほか，「ならば（⇒）」*5も必要となります．集合の概念は，数学教育の現代化運動の流れを受けて，小学校の算数に一時期取り入れられた（教科書いまむかし 数学教育現代化時代（小学校） -大日本図書-）ものの，その次の学習指導要領改訂で削除された，という経緯もあります（今までの包摂関係の扱い - 教育 - Seesaa Wiki（ウィキ））．
そもそも，「正方形は長方形である」という言い方は，小学校の算数で見かけません．
例えば図形の包摂関係｜算数用語集では，「正方形を長方形の仲間とみたり，長方形やひし形を平行四辺形の仲間とみたりする」「長方形が平行四辺形の特別な形である」と記されています．
数学との橋渡しとしては，ほかに，「正方形は長方形に含まれる*6」や「正方形は長方形の特殊な場合である」あたりも，言えるようにしたいところです．
テストにおいても，配慮が必要となります．A2で見てきたとおり，東京都算数教育研究会の学力実態調査では，6つの四角形に対し「向かい合っている2組の辺が平行になっている四角形」と「平行になっている辺の組が1組しかない四角形」を選ばせており，平行四辺形・長方形などを後者で挙げると誤答になるようにしています．
まとめ．
- 「AはBである」という構文には，次の3種類の用法があります．
- is-a関係：リンゴはフルーツである．正方形は長方形である．
- equalの関係：1＋1は2である．
- belongs-to関係：
- 小学生に「正方形は長方形ですか?」と尋ねると，混乱が予想されます．「正方形は長方形のなかまですか?」と尋ねるようにしましょう．
*1:原文ママ．小学校の教科書では「四角形」と書かれるはずです．
*2:“is-equal-to関係”および“equalの関係”，それと後述の“belongs-to関係”は本記事のための造語です．
*3:「2は2に等しい（2＝2）」といったequalの関係も，形式上は存在しますが，これはトートロジーとして別に扱うべきでしょう．
*4:“equalの関係”は，“belongs-to関係”に帰着させることができます．「計算して15になる式の集合」を考えると，3×5と5×3はともに，その集合に属する（belongs-to関係）ので，3×5＝5×3である（equalの関係），となります．3×5＝5×3とはもご覧ください．
*5:「ならば」については，高校の数学で学習すると思われます．『わかっているようでわからない数と図形と論理の話』でも，第IX話で取り上げられています．
*6:英語では"A is included in B."です．さらに言うと，"A is involved with B."だとhas-a関係になります．
