昨日の件の続報です．公開したRubyスクリプトにいくつか思い違い（論理エラー）があり，デバッグしました．ソースは昨日と同じgistよりご覧ください．
修正した結果，引数指定なしの出力の最終行は「4 factors: 120 expressions / 180 commutative / 120 associative」となりました．交換可能，結合可能な式のペアがそれぞれ半減しています．また因数の数が8の場合にも，約半日かかって出力が出ました（値は，後ろにつけた表をご覧ください）．
それから，少し修正して，Graphvizの入力となるDOTファイルを生成してみました．変換プログラムとDOTファイルは非公開とします．因数の数が3で，(ab)cの式を起点としたとき，交換法則・結合法則を適用して得られる式の関係は以下のようになります．
ここで青線は交換可能な式どうし，赤線は結合可能な式どうしを結んでいます．どの式にの節点からも，青線2つと赤線1つが出ています．青線だけで見ると，4つの式を環状に結んだグループ*1が3つという構成です．その各グループが，赤線でつながっています．
因数の数を4としたときの図も，作ってみました．どの式の節点からも，青線3つと赤線2つが出ています．青線だけで見ると，8つの式の節点で立方体が構成される，15個のグループに分割されます．赤線だけで見ると，5つの式による環状グループが24個です．「立方体」を出力するには，((ab)c)dを起点とし，交換法則のみを適用して得られる式に限定すればよく，以下の図になります．
因数の数を変えて得られる数からも，規則性を見ることができます．まずは因数の数を1から8にして得られる，出力の最終行を，表にします．あとの説明のため，因数の数がnのときに，得られる式の数をe(n)，交換可能な等式の数をc(n)，結合可能な等式の数をc(n)と書きます．
| 因数:n | 式:e(n) | 交換可能:c(n) | 結合可能:a(n) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 2 | 2 | 1 | 0 |
| 3 | 12 | 12 | 6 |
| 4 | 120 | 180 | 120 |
| 5 | 1680 | 3360 | 2520 |
| 6 | 30240 | 75600 | 60480 |
| 7 | 665280 | 1995840 | 1663200 |
| 8 | 17297280 | 60540480 | 51891840 |
このとき，e(n)/e(n-1)は，以下のとおり等差数列になります．bcコマンドで2*6*10*14*18*22*26を計算させると，17297280になることも確認しました．
| n | e(n) | e(n)/e(n-1) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | ― |
| 2 | 2 | 2 |
| 3 | 12 | 6 |
| 4 | 120 | 10 |
| 5 | 1680 | 14 |
| 6 | 30240 | 18 |
| 7 | 665280 | 22 |
| 8 | 17297280 | 26 |
またc(n)/e(n)，a(n)/e(n)も，それぞれ等比数列です．
| n | e(n) | c(n) | a(n) | c(n)/e(n) | a(n)/e(n) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 2 | 1 | 0 | 0.5 | 0 |
| 3 | 12 | 12 | 6 | 1 | 0.5 |
| 4 | 120 | 180 | 120 | 1.5 | 1 |
| 5 | 1680 | 3360 | 2520 | 2 | 1.5 |
| 6 | 30240 | 75600 | 60480 | 2.5 | 2 |
| 7 | 665280 | 1995840 | 1663200 | 3 | 2.5 |
| 8 | 17297280 | 60540480 | 51891840 | 3.5 | 3 |
ともに公差は0.5ですが，a(n)/e(n)はc(n)/e(n)より1行ずつ，後ろになっています．因数の数を増やしていっても，交換可能な式のペアのほうが常に，結合可能な式のペアよりも大きくなることを，示唆しています．
ここまで書いた比について，n，および/または，式の構成に関する帰納法で証明できそうですが，そこまで手が回りません．
*1:例えば(ab)cとc(ba)は，直接結ばれていませんが，同じグループです．というのも，交換法則を2回適用すると，一方から他方の式が得られるからです．
