はじめに，完成した正二十面体を：
展開図は：
後述のプログラムで，SVG画像として生成したのち，JPEGにしました．SVGのファイルは以下よりダウンロードしてください．
- icosa-test.svg: 隣り合う面の辺に添えるのは，「(1)」から「(30)」まで
- icosa1.svg: 隣り合う面の辺に添えるのは，かけられる数とかける数を反対にした式
- icosa2.svg: 隣り合う面の辺に添えるのは，積が同じになる式
ブラウザ（Firefox）の印刷プレビューで，150%に拡大し，用紙を横にすると，A4用紙でいい感じに印刷できます．
展開図で何も書かれていないか，中央が◎の三角形は，のりしろとなり，出来上がりの正二十面体の表面には出てきません．それと切り込みも必要です．http://polyhedra.cocolog-nifty.com/polyhedra20.pdfをご覧ください（このPDFをリンクするページを，あとで取り上げます）．
きっかけは，年末に読み直した本です．
- 坪田耕三: おもしろ発見!九九の授業づくり, 国土社 (1994). isbn:4337478299
目を引く図形が，p.15に載っていました．
最上段の左を見ると，丸囲みの「あ」の周囲に，「4×2」「3×1」「8×8」という，九九の式があり，それらを囲う線は，正三角形となっています．丸囲みの「あ」から「ひ」まで，同様に正三角形で，各辺には九九の式が添えられています．そして，どれも異なる九九の式です．ここで個数を確認しておくと，「あ」から「ひ」までは27文字あり，3×27で81個の式を書くことができ，九九（総九九）の式の数と一致します．一つ前のページでは，27個に分かれた正三角形の図が描かれています．
三角形を並べる際，共有する辺のところには，九九の答えが等しくなるような式が配置されるようにしまていす．例えば最下段の右，丸囲みの「せ」の左下は「2×3」で，隣り合う式は「6×1」です．
これは，二次元平面上の並べ方です．これを三次元の空間上で実現すれば，回転させてどこを見ても，それぞれの辺には積が等しい九九の（異なる）式を書くことができるはず…ということで，空間図形を作ることにしました．
実現の前に，少し検討します．正多面体で面の数が最大となるのは，正二十面体です．それぞれの面は，正三角形です．上の例では，27個の正三角形を使っていましたので，7個分を除外すればいいというわけです．
辺の数も，見ておきましょう．正二十面体の辺の数は，30です．昨日付けの記事の第1問（九九で，「3×5」と「5×3」のように，かけられる数とかける数を反対にしてできる，異なる式の組み合わせ）は36通りですので，式の数のほうが多いと言えます*1．
これらを考慮して，最初に作成する正二十面体では，隣り合う面の辺に添えるのは，「3×5」と「5×3」のように，かけられる数とかける数を反対にした式にします．
九九の式について，まず，「a×b」の式で，「2≦a＜b≦9」または「a＝1かつb＝8, 9」の条件を満たす形を選びます．「2≦a＜b≦9」を満たす(a,b)は28通り，「a＝1かつb＝8, 9」のほうは2通りで，合わせて30通りです．自作のプログラムではこのペアを生成したのち，展開図上にランダムに配置し，「b×a」の式も取り付けました．
もう一つ，作成する正二十面体について，隣り合う面の辺に添えるのは，積が同じであればよいことにします．出来上がった図形では「9×4」と「6×6」*2が隣り合っています．こちらは昨日付けの記事の第2問と同様に，等しい積になる式を配列をつくり，シャッフルしてから，ランダムに2つずつ式をpop（配列の後ろから値を取り出し）し，辺に対応付けていきました．
正二十面体の展開図は，wikipedia:正二十面体より見ることができますが，これでは自作（貼り付け）が困難です．少し探すと，糊付けまで考慮されたペーパークラフトが公開されていました．
あとは自分なりにコーディングを行いました．作成したプログラムをGistに公開します．単一のRubyスクリプトであり，rubyコマンド以外に必要なソフトウェアはありません．実行すると，カレントディレクトリに3つのファイル（icosa-test.svg，icosa1.svg，icosa2.svg）を生成します．
コードに関して，1つの面（正三角形）に関するIcosaDrawer::Triangleクラスと，SVG描画に関するIcosaDrawer::Drawerクラスを定義しています．前者のクラスには@rot0，@rot60，@rot120，@rot180，@rot240，@rot300という6つのインスタンス変数を入れていて，三角形の辺に添える文字列を格納します．また別のインスタンス変数@invertedについて，この値が真なら，展開図上で逆三角形にあるものとみなし，@rot60，@rot180，@rot300の値を参照してSVG上の文字列となります．偽なら，底辺のある（通常の配置の）三角形とし，@rot0，@rot120，@rot240を参照します．かけ算の式となる文字列には日本語文字を使用せず，乗算記号の「×」は，×と記述しています．
