いきなりですが問題です．
小学校の算数で用いられる，2枚の三角定規を使って，105°の角を作ってください．
三角定規の形状は，[wikipesia:三角定規]に書かれています．「角が45°・45°・90°（直角二等辺三角形）の三角定規と、角が30°・60°・90°（正三角形の半分、半正三角形）の三角定規の2枚一組」を使用します．「直角二等辺三角形の斜辺（45°-45°の辺）と、半正三角形の長いほうの隣辺（90°-30°の辺）の長さは等し」いというのも，以下の図の作成に当たり考慮しています．
冒頭の「105°の角」ですが，105°＝60°＋45°と分けると，半正三角形の60°の角と，直角二等辺三角形の45°の角を合わせて，一つの角にすればいい，と思いつきます．図にすると，以下の通りです．
続いてですが問題です．以下では「小学校の算数で用いられる，」を省略しています．
2枚の三角定規を使って，165°の角を作ってください．
2枚の三角定規の角の大きさを見て…それぞれの三角形から1つずつ，角を取り出して，足して165°となるような，組み合わせは存在しません．ここで，三角定規以外を使用してはならないこととします．もし紙と鉛筆も使用可能なら，90°の角を紙に書いてから，そこに45°と30°の角を合わせれば，165°が作れてしまいます．
単純なたし算では，うまくいきそうにありません．ということでひき算を使います．先に，以下の問題を考えます．
2枚の三角定規を使って，15°の角を作ってください．
これだと思いつくのは，15°＝45°－30°です．角度のひき算というのは，大きい角の図形（ここでは三角定規，以下同じ）の上に，小さい角の図形を乗せることで，実現できます．図にすると，以下の通りです．
それでは戻って，165°です．180°－15°＝165°を使うことにしましょう．次のようにします．
半正三角形のうち，直角二等辺三角形が乗っていない部分の三角形の内角は，まず30°，次に180°－45°＝135°，そして残りは，三角形の内角の和に基づき15°です．この角の外角は，180°－15°＝165°，というわけです．三角形の2つの内角と1つの外角に気づけば，30°＋135°＝165°という求め方も可能です．
元ネタは，以下のセンターカラー・p.36（青山尚司: 2枚の三角定規を使ってできる角度）でした．
なのですが，「三角定規 165」で検索すると，図を見つけることもできます．
画像は独自に作成しました．SVGファイルを作ってから変換しました．
SVGファイルをGistで公開しました．「< >」をクリックすると，ソースが表示されます．
