2階の導関数の「2」のつけ方

いきなりですが問題です．

yをxの関数として，その導関数は例えば $\displaystyle\frac{dy}{dx}$ と書きますが，2階の導関数は， $\displaystyle\frac{d^2y}{d^2x}$ ではなく， $\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}$ と書きます．なぜでしょうか．

さっそくですが解答です．2階の導関数を， $\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}$ と書くのはなぜかというと，wikipedia:微分の記号，wikipedia:ライプニッツの記法を見るといいでしょう．3階の導関数が，入れ子の分数式で表現されています．2階の導関数だと次のようになります．
$\displaystyle\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx}$
これについて，「分子のdxと分母のd」をひとかたまりと見なし， $\displaystyle\frac{df(x)}{dx}=\frac{d}{dx}f(x)$ の等式*1に， $\displaystyle f(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}y$ を代入すると，2階の導関数は次のように表せます．
$\displaystyle\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}y$
そして， $\displaystyle\frac{d}{dx}$ が2回続くのだからということで，べき乗で表記すると，次のような式にできます．
$\displaystyle\left(\frac{d}{dx}\right)^2y$ ， $\displaystyle\frac{d^2}{(dx)^2}y$ ， $\displaystyle\frac{d^2}{dx^2}y$
最後に書いた式について，yを分子に戻すと， $\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}$ になるという次第です．2階のみを考えましたが，同様にしてn階の導関数は， $\displaystyle\frac{d^ny}{d^nx}$ ではなく， $\displaystyle\frac{d^ny}{dx^n}$ となります．
2階の導関数を， $\displaystyle\frac{d^2y}{d^2x}$ と書かないことについて，それは表記の慣例で片づけることもできますが，（1階の）導関数と2階の導関数との違いを一つ，検討しておきます．（1階の）導関数では，逆関数の微分公式というのが使えます．以下の等式です．
$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$
もし，2階の導関数を， $\displaystyle\frac{d^2y}{d^2x}$ と書いてよいとするのなら，逆関数の微分公式についても同様に，以下の等式が成り立つことを，期待したいところです．
$\displaystyle\frac{d^2y}{d^2x}=\frac{1}{\frac{d^2x}{d^2y}}$
関数を一つ用意して，確かめてみます．分数形式で煩雑になるのを避けるため，プライム記号を採用します．すなわち，yをxの関数と見なしたとき，xによる微分（1階の導関数）をy'，2階の導関数をy''と表記し，xをyの関数と見なしたとき，yによる微分（1階の導関数）をx'，2階の導関数をx''と表記します．
$y=\sqrt{x}$ （x＞0）を考えます． $y=x^{\frac12}$ ですので，xで微分すると， $y'=\frac12x^{-\frac12}$ ， $y''=-\frac14x^{-\frac32}$ を得ます．次に， $x=y^2$ と変形して，xをyの関数と見なしたとき， $x'=2y$ （このとき $\frac{1}{x'}=\frac{1}{2y}=\frac12x^{-\frac12}=y'$ となります）， $x''=2$ です．
ここで， $\displaystyle y''=\frac{d^2y}{d^2x}$ ， $\displaystyle x''=\frac{d^2x}{d^2y}$ と割り当てたとき， $\displaystyle\frac{d^2y}{d^2x}=\frac{1}{\frac{d^2x}{d^2y}}$ は，成立しません．逆関数の微分公式を，単純に2階の導関数に拡張できないことを意味するとともに， $d^2x$ と $d^2y$ とをいわば対等に扱うのはおかしいと，言うこともできそうです．
別の観点でのメリットが，wikipedia:ライプニッツの記法に記されています．「次元解析との整合性」で， $\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}$ は， $\displaystyle\frac{y}{x^2}$ と同じ次元を持つとしています．次元解析の観点では，xとyを何らかの（一般にそれぞれ異なる）量，dは無次元量と考えればよいということです．