時刻の足し算，曜日の足し算，文字コードの足し算

• 曜日は7進数と考えられる。
• だから、日曜を起点に0と考えると、以下のような計算が成り立つはず。

月曜＋月曜＝火曜
月曜＋火曜＝水曜
火曜＋水曜＝金曜

• 普段、曜日を計算するという概念はないので「何だこれは？」という感覚かもしれないが、
• きっと、少年にとっての足し算の感覚とは、上記のような感覚なのかもしれない。

足し算の概念と少年の頭の中 - ザリガニが見ていた...。

駄文にゅうすつながりです．なお，内容の賛否を記したり，少年の頭の中を『線型代数』の知見でもって解明したりすることは，本エントリの意図ではありません．プログラミングでもあるんだよなあというのが，主な目的です．
曜日の足し算は，初めて見ましたが，時刻の足し算は，すぐ後で示すように，9月に書いています．
それらの足し算を説明するには，「アフィン空間」です．先月，取り上げました．

x+y＝(x-a)+(y-a)+a

順序数どうしの足し算，アフィン空間，量再考

時刻の足し算を，見直してみます．

「(2時)＋(3時)＝(5時)」とし，他の時刻間についても同様に加法を定義したとき，日本の2時と3時は，中国では時差によって1時と2時になり，日本では(2時)＋(3時)＝(5時)なのが中国では(1時)＋(2時)＝(3時)，あれっ時差が2時間になっていませんかっとのこと．

時刻＋時刻，時間＋時刻

時刻をアフィン空間，時間を線形空間とします．言い換えると，原点がどこであれ，時刻と時間の足し算，時刻どうしの引き算，時間どうしの足し算と引き算が行えることを前提とします．
そして，日本の0時を原点とします．細かいことを言うと，「ある日の0時」であり，時刻表記は24時間制とすることも，断っておくべきでしょうね．
このとき，上の加法の式にx＝2時，y＝3時，a＝0時を代入すると，2時＋3時＝(2時−0時)＋(3時−0時)＋0時 と書け，あとは，＝2時間＋3時間＋0時＝5時間＋0時＝5時 となります．
日本の0時は，中国では前の日の23時です．これを「-1時」と表記することにして，中国の1時と2時を足すと，1時＋2時＝(1時−(-1時))＋(2時−(1時))＋(-1時)＝2時間＋3時間＋(-1時)＝5時間＋(-1時)＝4時 となり，日本の5時と中国の4時は同じ時刻ということで辻褄が合います．
日本では，1時＋2時＝(1時−0時)＋(2時−0時)＋0時＝1時間＋2時間＋0時＝3時間＋0時＝3時 です．このとき「日本では1時＋2時＝3時，中国では1時＋2時＝4時，どういうこと？」と思うのは，原点を無視しているからであって，「日本で原点となる時刻」「中国で原点となる時刻」を定めることにより，そのつど計算ができる（結果が一意に定まる）わけです*1．
曜日の足し算を見ます．「月曜＋月曜＝火曜」について，日曜を原点(0)，他の曜日を日曜からの経過日数とするよう，アフィン空間から線形空間への写像を（もちろんその逆写像も）決めれば，月曜＋月曜＝(月曜−日曜)＋(月曜−日曜)＋日曜＝1＋1＋日曜＝2＋日曜＝火曜 となります．「月曜＋火曜＝水曜」，「火曜＋水曜＝金曜」も同様です．
ただし，週をまたぐとき，経過日数は7で割った余りにする必要があり，例えば，金曜＋土曜＝11＋日曜≡4＋日曜＝木曜 です．ここで「11≡4 (mod 7)」という，7を法とした合同式を利用しました．言葉にするなら，「日曜から11日後の曜日は，日曜から4日後の曜日と同じ」です．
そして，先週の授業で資料を配布し，今週の授業で取り上げた，「次の文字にする」のにも，同じ種類の足し算・引き算を使用していることに気づいたのでした．
具体的なコードは次のとおり（一部書き換えています）．

c = (c - 'a' + 1) % 26 + 'a';

これは，char型変数cに格納されている値が'a'なら'b'に，'b'なら'c'に，…，'y'なら'z'に，そして'z'なら'a'に変更します．なお，'a'から'z'まで（文字コードが）連続していること，cがその範囲にある（範囲外なら，この代入をしない）ようif文で制限していることは，正しく動作するための前提として，授業で示しています．
この式のうち「- 'a'」と「+ 'a'」は，アフィン空間から線形空間，そしてその逆に移すための操作です．cに'c'が入っていたら，c - 'a'は2になりますが，これは，「'a'を原点として，そこから2だけ離れた文字コード」を意味します．
ここまではいいのですが，「+ 1」で引っかかります．これを，線形空間の足し算とすると違和感があります．むしろ，後者関数(successor)のようなものです．写像によって移す操作と，後者関数の適用を分けて書くと，次のようになります．

int succ1(int v)
{
  return v + 1;
}
...
  c = succ1(c - 'a') % 26 + 'a';

いや，「25の次は（26ではなく）0」というのも後者関数に取り入れて，

int succ2(int v)
{
  return (v + 1) % 26;
  /* 0≦v＜26なら，以下と同じ：
  if (v == 25) {
    return 0;
  }
  return v + 1;
  */
}
...
  c = succ2(c - 'a') + 'a';

とするほうが，より自然に思えます．

*1:それでも，「2時＋3時＝5時」という等式の妥当性・実用性の検討は，不可欠でしょうね．常にこの等式が成り立つとするのは，賛成できません．