いきなりですが問題です．
どうして（-3）×（-2）＝6となるのか，説明してください．
こういう説明問題で，次のような書き方は，おそらく，期待されていません．
- 3×2＝6の両辺に-1を2回かけると，（-1）×（-1）×3×2＝（-1）×（-1）×6．左辺は交換法則と結合法則により，（-1）×（-1）×3×2＝｛（-１）×3｝×｛（-１）×2｝＝（-3）×（-2）．右辺は6．ゆえに（-3）×（-2）＝6（証明終）
ツッコミどころは，a＝bならば-a＝-bという性質や，正負の数を対象とした乗法の交換法則・結合法則を，証明なしに使っていいのかというところです．とはいえ，正解にしていいか，不正解あるいは減点とすべきかは，出題*1から採点までのプロセスにおいて，どのような取り決めがなされているかによります．
そういった代数的な定理の証明によらず，マイナスかけるマイナスはプラスに，そして（-3）×（-2）＝6になることを説明するには…いくらでも食べられる，おいしい料理を用意しましょう*2．私がそれを1分間に3皿食べるとすると，2分間では3×2＝6で6皿食べることになります．それだけ食べた時点を基準とすると，その2分前には，在庫は3×2＝6で6皿分多いとなります．そこで，残りのお皿の変化に着目したプラスとマイナス*3と，時間のプラスとマイナスをあてはめると，（-3）×（-2）＝6と言えます．しかし2種類の正負の数量を必要とし，誤解を招きやすそうです．
また別の手段は，数直線です．次の2冊の本は，負の数のかけ算の説明に，数直線を用いています．
主要部は次のとおりです．
そうなんです。では，負の数のかけ算とは何だろう。まずは
（-2）×3
のような，かけられる数が負，かける数が正のかけ算の意味を考えてみましょう。
女の子 答えは（-6）だよね。
男の子 負の方向へ2進むのを3回繰り返す。
豚 マイナス2の3個分。
(『生き抜くための数学入門』p.38)
3秒前，すなわち，-3秒後には，木よりも西の方向84m，すなわち，-84mのところを走っていました。
（+28）×（-3）＝（−84）
(『中学数学再入門』p.34）
『生き抜くための数学入門』ではマイナスかけるプラスから入っています（本文では，その次はプラスかけるマイナスとなる2×（-3），そして両方ともマイナスの（-2）×（-3）と見ていきます）．男の子の発言は，累加を表します．負の数の累加も，かけ算で表すことができるという考え方が，そこには含まれています．
一方，『中学数学再入門』の，負の数のかけ算の最初は，プラスかけるマイナスです．引用のあとは，かける数を1ずつ，3まで増やし，それぞれのかけ算の式と答え，その解釈を示しています．マイナスかける（-3から3まで）の式は，p.37に並んでいます．（-28）×（-3）＝（+84）を含む，マイナスかけるマイナスの式は，その次のページです．
（+28）×（-3）＝（-84）に話を戻すと，式を並べる都合として，この式から始まっていますが，小学生のかけ算の連携あるいは意味の拡張を図ろうとするなら，（+28）×（+3）＝（+84）からスタートし，かける数を1ずつ減らしていくのが，分かりやすいように思えます．そこでは，小学校学習指導要領解説 算数編では第3学年で学習するという等式，a×（b±1）＝a×b±aを用いることになります．aおよびbがプラス・マイナス・ゼロのいずれであっても成立するという考え方です．
ここまで2回，「考え方」と書きましたが，先に書いたほうは定義，あとに書いたほうは定理となります．ただしいずれも，それまで（小学校の範囲の演算）の拡張になりますので，拡張する前の状況で分かっている性質と矛盾することがないか，確かめることも，実は必要だったりします．
2冊の違いは，2次元平面を使って，次のように表すことができます．便宜上，x軸をかけられる数，y軸をかける数としています．
『生き抜くための数学入門』では，プラス×プラスを既知とし，マイナス×プラス，プラス×マイナス，そしてマイナス×マイナスの答えと見ていっています．
それに対し『中学数学再入門』では，プラス×プラスを既知とし，プラス×マイナス，マイナス×プラス，そしてマイナス×マイナスという順番です．
このように，流れは異なりますが，2つには共通点もあります．マイナス×マイナスがプラスになることを説明するときに使う数は，整数を用いており，小数や実数は使いません．もう一つは，かけられる数とかける数の違いに注意しながら，議論を進めているところです．交換法則は現れません．2×（-3）と（-2）×3，あるいはa×（-b）と（-a）×bがが等しいのは，別々の理由でそのかけ算の答えが-6あるいは-abになるため，と言えます．
昨今の「かけ算の順序論争」を踏まえると，小学校高学年になったら，あるいは中学の数学では，かけられる数とかける数の違いなんてないんだよ，というのでは，負の数のかけ算の説明で苦労することになるわけです．中島(1968)では，ラパッポルト氏による反論を紹介する形で，「アレイでも，（-3）×（-4）の説明はできない」と書いています．
とはいえ今回の話を，非順序派への攻撃の材料として使うのではなく，乗法には〈乗数と被乗数が区別される文脈〉と〈乗数と被乗数を区別しない文脈〉（乗数効果より）という大まかな分類が，算数でも数学でも，日常生活にも存在するんだということを，今後も呼びかけていくとします．
『生き抜くための数学入門』は，今月9日に学外の図書館（農民カフェ絆で昼食）で見かけた本で，その後，Amazonで取り寄せました．『中学数学再入門』は書店で購入しました．
はてブとコメントありがとうございます．
ROYGB 縦−３センチで横−２センチの長方形の面積は６平方センチというのはダメか。縦３センチで横−２センチだったら面積がマイナスになる。
符号付きの面積といえば，定積分を使いたいところです．f(x)＝3，g(x)＝-3（どちらも定数関数）を用いると，
が言えます（定積分の下端が上端より大きいときの扱いは「規約」（wikipedia:積分法）によります）．そして最後の定積分が，（-3）×（-2）＝6に対応します．
一般には，f(x)＋g(x)＝0と，いくつか条件を設けた上で，
となります．
