いきなりですが問題です．
次の2つの数量で，比例するものはどれですか．全部選びましょう．
- 身長の伸び方と体重の増え方
- 直方体の形をした水そうに入れる水の量と水の深さ
- 1日の昼の長さと夜の長さ
- 底辺が一定な三角形の高さと面積
- 面積が一定な長方形のたてと横の辺の長さ
さっそくですが解答です．正解は2と4です．1と3と5は，比例の条件に当てはまりません．そして3は和一定（昼の長さ＋夜の長さ＝24時間），4は反比例もしくは積一定（たて×横＝面積）です．1は，“ナントカ一定”にならない関係です．
元ネタは，東京都算数教育研究会による平成24年度実施学力実態調査の集計と考察〈数と計算 数量関係〉の第6学年 大問5です．平成22年度実施分にも同じ問題があります．
さらにですが問題です．
小学校で比例を学習するとき，2つの数量は必ず異質のものでしょうか?
異質というのは「単位が異なる」と言い換えることができます．
上の5つの「2つの数量」を見ると，同質すなわち単位が同じものは，比例でないことが分かります．この発見は，その出題に限った性質なのか，それとも，小学校では異質の2つの数量の間でのみ，比例を学習するのか…
本にあたると，反例が見つかりました．
新版 小学校算数 板書で見る全単元・全時間の授業のすべて 6年下
- 作者: 山本 良和,筑波大学附属小学校算数部
- 出版社/メーカー: 東洋館出版社
- 発売日: 2011/10/22
- メディア: 単行本
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その右には「1辺の長さが2倍，3倍，4倍…となればまわりの長さも2倍，3倍，4倍…となっていく」「まわりの長さ÷1辺の長さ＝4」*1と書かれています．ただし，その授業では「比例」という言葉を使いません．「比例」という用語を学習するのはその次の授業で，さらにその次，p.28でまた正方形を取り上げます．表のすぐ下に，「まわりの長さ÷1辺の長さ＝4」「y÷x＝4」「y＝4×x」と式が並べられています．
この本でも，また他の算数の解説を見ても，異質な2つの数量の間で比例を学習すべきであるとは書かれていません．小学校学習指導要領解説 算数編を見ておきます．以下のページ番号はhttp://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2009/06/16/1234931_004_2.pdfのノンブルからです．「比例の意味」(p.206)として（ア）（イ）（ウ）を書いている中で，（ア）の最初に「二つの数量A，Bがあり」(p.206)とあり，そこからは，異質か同質かは問わないと読むことができます．
ここで「かけ算の順序」に視点を移し，式を見比べることにします．
正方形のまわりの長さの式は，小学校学習指導要領解説 算数編にも書かれています．「第４学年で，□，△などを用いた式を取り扱う場合としては，例えば，正方形の一辺の長さと周の長さの間の関係を□×４＝△と一般的に表す場合が考えられる。」(p.159)のところです．第6学年には，正方形のまわりの長さの式は見られませんが，「比例の関係を表す式は，（ウ）の商をkとすると，y＝k×xという形で表される。」(p.207)のもとで，y＝4×xで表すことが期待されています．
□×４＝△とy＝k×xを見比べると，□をx，△をyにそれぞれ置き換えること，そして記号や文字を使った乗法の交換法則と，等号の可換性により，それら2つの等式が同等視できることになります．
とはいえ，「記号や文字を使った乗法の交換法則」や「等号の可換性」を使うのは，いわば代数的なアプローチです．小学校ではそのようなことをしませんし，『板書で見る…』においても，y＝4×xと式に表したあと，□×４＝△と比較したり，「これ，4年では□×４＝△と習ったよ」と子どもが反応したりなどは，見当たりません．
とはいえ，□×４と4×xの違いはというと，Vergnaud (1983, 1988)などをもとに，具体的に書くことができます．
まず，□×４については，「正方形の一辺の長さを4倍すれば，まわりの長さになる」というわけで，倍概念が根拠となっています．
それに対し，y＝4×xのほうは関数関係です．伴って変わる2つの数量xとy（正方形の一辺の長さとまわりの長さ）について，表や，商一定の式をもとに，比例であることを確認したら，比例の性質により，y＝4×xと表されるというわけです．4は比例定数*2で，単位まで考えるならその単位はxとyから定まります．正方形の一辺の長さとまわりの長さの単位をともにcmとするなら，比例定数4の単位はcm/cm，というよりは単位なし（比例定数は無次元量）とみなすのが自然です．
倍概念と関数関係については，以下をご覧ください．
- Vergnaud, G. (1983). Multiplicative Structures, In Lesh, R. and Landau, M. (Eds.), Acquisition of mathematics concepts and processes, Academic Press, pp.127-174. isbn:012444220X
- Vergnaud, G. (1988). Multiplicative Structures. In Hiebert, J. and Behr, M. (Eds.), Number Concepts and Operations in the Middle Grades, Vol.2, pp.141-161. isbn:0873532651
- 『算数・数学科重要用語300の基礎知識』(p.187)
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- 1988年のmultiplicative structures
（最終更新：2014-03-27 朝）