ここ数日，サーチエンジンで等分除だとか包含除だとかの検索結果から，わり算，包含除・等分除，トランプ配りなどへのアクセスが来ています．小学校で，わり算を学習する段階になったからでしょうか．本記事も，学校の先生にはほとんど参考にならない思案を述べていきます．
包含除・等分除という言葉を使わずに，除法の意味づけを図ろうとするなら，日常生活に基づく方法，実数体を念頭に置いて構成する方法，量に基づく方法，あたりが思い浮かびます．6÷3という式の解釈は，それぞれの方法により異なってきます．日常生活なら例えば「6個のお菓子を3人に同じ数ずつ分ける」や「6個のお菓子を3個ずつ分ける」，量に基づくなら「6mの紐を3等分したときの1つ分」を挙げることができます．
「純粋な数どうしの（除法による）演算」を，実数体を念頭に置いて構成する方法と同一視できるのかというと，必ずしもそうではなさそうです．例えば「6を3でわる」という言い方は，被除数・除数ともに（量でない）数でありながら，日常生活に帰着してその意味を考えたり，計算したりするわけです．そのような置き換えは，除数が小数の場合にも有効です．「6を0.5でわる」ことの意味を言ってみるなら，「6mの紐から0.5mの紐は何本作れるか」となります．しかしながら，これを「意味」というのは，不正確です．数どうしの演算に対し，数を量に置き換えて，日常生活に基づく（大人・子どもが「こうだよね」と理解できるような）方法へと，変換しているのです．
もう少し，思案を進めます．除法に《交換》法則を与えるとすると，それはどんなときだろうか，です．とはいっても，a÷b＝b÷aを証明したいわけではありません．6÷3≠3÷6なのは分かっています．
考えたいのは，「a÷b＝c」と「a÷c＝b」との対応です．被除数aを固定したとき，bとcを《交換》できるのか，という問題意識です．
実数体は可換な体ですので，《交換》可能と言っていいはずです．ですが6÷3＝2という式を，「6個のお菓子を3人に同じ数ずつ分けると，2個ずつになる」に対応づけるなら，6÷2＝3は，「6個のお菓子を2個ずつ分けると，3人に配れる（3人が2個ずつ持つ）」となります．前者は等分除，後者は包含除です．
とはいえ，《交換》によって，（小学校で学習する）わり算の意味が変わるのは，不思議なことではなく，むしろ，「a÷b＝c」と「a÷c＝b」の両方が等分除（あるいは両方が包含除）となる場面を見つけるほうが，難しそうです*1．
この《交換》の可能性などについては，b×c＝aというかけ算の式と結びつけて，別記事で整理を図っていくことにします．
最近読み直したりした，Webの情報を，2つ挙げておきます．
この記事が出たのは2013年6月14日．同月19日にはてブしています．その後，10月にコメントのやりとりがあります．「自分はこう思う」と「世の中はこうなっている」の対比が興味深かったです*2．
本文の中で，6×□＝24の□を求めるのにも，□×6＝24を求めるのにも，「６の段の九九で求められます」としており，2回目の出現の直後に「ここでおやっと思う」「等分除の答えも6の段の九九で求めるというと，子どもたちは混乱する」などと書かれているのは，立ち止まって考えたいところです．
□を含む乗法の交換法則は，未習のはずです．
丁寧にするなら，□×6＝24を求めるのも，6の段でいいことを，九九の表を見直して確認・共有する時間をとればいいのでしょうか．ここで，表の「□×6」の列と，6の段の行*3について，先頭（上，左）から見ていくと順に同じ値になることを理解していきます．
- 馬場久志: 成人の除算手続きの推論における数学的知識の影響, 東京大学教育学部紀要, Vol.27, pp.297-305 (1988). http://ci.nii.ac.jp/naid/110000197727 http://repository.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/dspace/bitstream/2261/549/1/KJ00000126196.pdf
「読み直した」といっても，当ブログで取り上げるのは，この記事が初めてになります．
この文献で中心となるのは「手動計算機の操作」です．学生はまず使ったことがないだろうという器械を使わせ，1332÷9，1332÷37が計算できるかを，みています．
論旨を自分なりに書くと，「成人は，わり算＝等分除という数学的知識を持っている．そこに包含除（累減の操作）をもとにした除算手続きをさせると，多くが達成できなかった」となります．実験内容は面白かったのですが，「わり算＝等分除」の数学的知識を前提としていいのかは，気になります．上に書いたとおり，「6を0.5でわる」ときまで等分除で解釈する人は，少ないように思うからです．等分除の意味を拡張するのでなければ，等分除の除数は分離量となります．
引用文献を見たとき，英語文献が多い中，『数学の世界―それは現代人に何を意味するか (中公新書 317)』『水道方式入門 整数編 新版』が入っていたのには，ちょっとびっくりしました．等分除と包含除の検討にあたって，引用されています．
*1:囲い込みなしのアレイ，かなあ．
*2:個人的には，自分で展開などをしてから，ではその問題について，これまでどうなっているのかと調べていくのが好み http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20131215/1387052336 ですし，わり算の話であれば，「歴史的にも国際的にも，初等教育における除法には，2種類の意味づけがある」のを文献を通じて確認済ですので，「区別する必要が分かりません」を算数教育の文脈で語るのは，無知そしてトンデモの認定をしていいと思っています．学校の先生方も，出版社の方々も，ごくろうさまです．
*3:「転置」の関係にある行とみることもできます．表の対称（転置）な2つのマスで積が同じなのは，2年で学習し，3年では行と列としてみてもそれぞれ等しいことで，□×6＝6×□を学習するというわけです．
