- Nesher, P. (1992). Solving Multiplication Word Problems. In Leinhardt, G., Putnam, R. and Hattrup, R. A. (Eds.), Analysis of Arithmetic for Mathematical Teaching, Routledge, pp.189-219. isbn:0805809295
本は購入していません．http://books.google.co.jp/books?id=Vyl42R9JV1oC&pg=PA189より全文を読むことができました．
Word Problemとは，文章題のことです．この解説では，はじめに子どもたちのたし算・ひき算の文章題理解を概観したのち，かけ算だとどうなるかという問題意識のもと，3種類の方法を紹介しています．1番目はかけ算・わり算に関するモデル（implicit models）の構築*1，2番目は次元解析（dimensional analysis）*2，そして3番目がテキストに基づくアプローチ(textual approach)です．
3番目の方法では，Schwartzのモデルにおける「I×E」と「S×E」の違いにページをとっています（p.203以降）．I×Eのタイプの文章題は，p.203によると：
There are 5 shelves of books in Dan's room.
Dan put 8 books on each shelf.
How many books are there in his room?
そしてS×Eのタイプの文章題は，p.205に書かれていて：
Dan has 5 marbles.
Ruth has 4 times as many marbles as Dan.
How many marbles does Ruth have?
I，E，Sの各文字の意味ですが，Iは内包量(intensive quantity)あるいは「1あたり量」，Eは外延量(extensive quantity)です．Sについては明示されていませんが，読んだ限りでは，倍率すなわちscaling factorが適当と思われます．
本文に，上記それぞれの場面に対応するかけ算の式が出てきませんが，前者はI×Eというのだから，8 books per shelf × 5 shelves ＝ 40 booksが期待され，算数の式としては8×5＝40です．それに対しS×Eのタイプは，Sに当たるのが4なので，4 × 5 marbles ＝ 20 marblesで，算数としての式は4×5＝20です．
日本の算数ではどうなるかを，考えてみます．「太郎の部屋には5段の本棚があります．どの段にも8冊の本があります．部屋に本は何冊ありますか」という文章題では，8冊のほうがかけられる数，5段のほうがかける数になり，8×5＝40 答え40冊とするのが期待されます．
2番目のほうは，「太郎は5個のおはじきを持っています．花子は太郎の4倍のおはじきを持っています．花子は何個のおはじきを持っていますか」と訳しあ上で，5個のほうがかけられる数，4倍のほうがかける数ということで，5×4＝20 答え20個となります．
和英の問題文とかけ算の式を比較したとき，I×Eのタイプでは，パー書きの量が，×の左に来るので共通しています．それに対し，S×Eのタイプだと，そのモデルに忠実に当てはめるなら，何倍にあたるSが×の左になりますが，日本の算数では，「（5個の）4倍」ということで，×の右に置く必要があります．
「外国は外国，日本は日本」でもいいのですが，日本式のほうが合理的な根拠もあります．一つは累加を用います．本の問題は，8＋8＋8＋8＋8であり，5＋5＋5＋5＋5＋5＋5＋5だと本棚の数が40と解釈できてしまいます．おはじきについても，5＋5＋5＋5であり，4＋4＋4＋4＋4とするのは同様に無理があります．
積の単位（次元）に着目することもできます．上に書いた（こちらで創作した）「8 books per shelf × 5 shelves ＝ 40 books」では，積の次元のbook(s)は，×の左の量に出てくるのに対し，「4 × 5 marbles ＝ 20 marbles」について，積の次元のmarbles(s)は，×の右にあります．
これは一般化して，I×E＝E'はn1[d1/d2]×n2[d2]＝n1・n2[d1]，S×E＝E'はn1×n2[d1]＝n1・n2[d1]で表すことができます．それぞれの右辺はn1・n2[d1]で共通していても，その次元のd1は，左辺ではそれぞれ×の左と右にあるというわけです．
もし，d1を，×の左に置こうとするのなら，n2[d1]×n1＝n1・n2[d1]です．
そうするとついでに，E×S＝E'あるいは，かけられる数と積が同種の量となるので，E×S＝Eと書きたいところです．
